Текстовые задачи на движение — один из самых важных и интересных разделов школьного курса алгебры. Они развивают логическое мышление‚ умение анализировать условия и составлять математические модели реальных ситуаций. Одной из таких классических задач‚ которая часто встречается в учебниках (например‚ Макарычева для 8 класса) и на экзаменах‚ является следующая: «Мотоциклист ехал из одного города в другой 4 ч. На обратном пути первые 100 км он ехал с той же скоростью‚ а затем уменьшил её на 10 км/ч и поэтому на обратный путь затратил на 30 мин больше. Найдите расстояние между городами».

В этой статье мы подробно разберем условие этой задачи‚ составим уравнение и найдем правильный ответ‚ шаг за шагом объясняя каждый этап решения.

Анализ условия задачи

Для успешного решения любой задачи на движение необходимо четко понимать‚ что происходит в каждый момент времени. Вспомним базовую формулу‚ связывающую расстояние‚ скорость и время:

S = V * t

• S — расстояние (путь)
• V — скорость
• t — время

Теперь давайте выделим из условия задачи три этапа пути мотоциклиста:

1. Путь туда: Мотоциклист проехал все расстояние между городами за 4 часа. Пусть его скорость на этом пути равна x км/ч.
2. Обратный путь (первая часть): Первые 100 км мотоциклист ехал с той же скоростью‚ то есть x км/ч.
3. Обратный путь (вторая часть): Оставшуюся часть пути он уменьшил скорость на 10 км/ч‚ то есть его скорость стала (x ⸺ 10) км/ч.

Также важно учесть информацию о времени: на весь обратный путь мотоциклист затратил на 30 минут больше‚ чем на путь туда. Поскольку скорость измеряется в км/ч‚ время тоже нужно перевести в часы: 30 минут = 0‚5 часа.

Составление математической модели

Приступим к выражению всех величин через нашу неизвестную переменную x.

Путь из первого города во второй

Так как мотоциклист ехал 4 часа со скоростью x км/ч‚ расстояние между городами равно:

S = 4x

Обратный путь

Обратный путь состоит из двух участков. Общее расстояние то же самое — 4x.

• Первый участок: 100 км. Скорость — x км/ч. Время на этом участке: t₁ = 100/x часов.
• Второй участок: оставшееся расстояние. Так как весь путь 4x‚ а первый участок 100 км‚ то длина второго участка равна (4x ⸺ 100) км. Скорость на нем — (x ─ 10) км/ч. Время на этом участке: t₂ = (4x ─ 100) / (x ⸺ 10) часов.

Общее время на обратном пути — это сумма времени на первом и втором участках:

t(обратно) = 100/x + (4x ⸺ 100) / (x ⸺ 10)

Уравнение

Из условия известно‚ что на обратный путь затрачено на 0‚5 часа больше‚ чем на путь туда. Путь туда занял 4 часа‚ следовательно‚ обратный путь занял 4‚5 часа. Составляем уравнение:

100/x + (4x ─ 100) / (x ⸺ 10) = 4‚5

Решение уравнения

Теперь наша цель — решить это дробно-рациональное уравнение. Для начала избавимся от десятичной дроби‚ умножив обе части уравнения на 2:

200/x + (8x ⸺ 200) / (x ⸺ 10) = 9

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель x(x ─ 10)‚ чтобы избавиться от дробей (при этом помним‚ что x ≠ 0 и x ≠ 10):

200(x ⸺ 10) + (8x ─ 200)x = 9x(x ⸺ 10)

Раскроем скобки:

200x ⸺ 2000 + 8x² ─ 200x = 9x² ─ 90x

Приведем подобные слагаемые (200x и -200x взаимно уничтожаются):

8x² ─ 2000 = 9x² ⸺ 90x

Перенесем все в одну сторону (например‚ в правую)‚ чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

x² ─ 90x + 2000 = 0

Найдем дискриминант:

D = b² ⸺ 4ac = (-90)² ─ 4 * 1 * 2000 = 8100 ⸺ 8000 = 100

Корень из дискриминанта равен 10. Найдем корни уравнения:

x₁ = (90 + 10) / 2 = 100 / 2 = 50

x₂ = (90 ─ 10) / 2 = 80 / 2 = 40

Анализ корней

Мы получили два возможных значения начальной скорости мотоциклиста: 50 км/ч и 40 км/ч. Необходимо проверить‚ не противоречат ли они условию задачи.

• Если x = 40 км/ч‚ то на обратном пути на втором участке его скорость была бы x ─ 10 = 30 км/ч. Это допустимая скорость.
• Если x = 50 км/ч‚ то на обратном пути на втором участке его скорость была бы x ─ 10 = 40 км/ч. Это тоже допустимая скорость.

Казалось бы‚ оба корня подходят. Однако давайте вспомним‚ что расстояние между городами S = 4x.

• При x = 40‚ расстояние S = 4 * 40 = 160 км. Но на обратном пути мотоциклист проехал первые 100 км. Если весь путь 160 км‚ то второй участок равен 160 ─ 100 = 60 км. Это вполне логично.
• При x = 50‚ расстояние S = 4 * 50 = 200 км. На обратном пути первый участок 100 км‚ второй участок 200 ⸺ 100 = 100 км. Тоже логично.

Почему в школьной программе часто отдают предпочтение значению 50? Давайте проверим оба варианта подстановкой в исходное уравнение времени. Время туда равно 4 часа. Время обратно должно быть 4‚5 часа.

Проверка для x = 50 (S = 200):

t = 100/50 + 100/40 = 2 + 2‚5 = 4‚5 часа. Условие выполняется идеально.

Проверка для x = 40 (S = 160):

t = 100/40 + 60/30 = 2‚5 + 2 = 4‚5 часа. Условие тоже выполняется!

С математической точки зрения задача имеет два правильных ответа. Однако в большинстве методических пособий и решебников (включая задачник Макарычева) традиционно принимается ответ 50 км/ч‚ так как он считается более реалистичным для междугородних поездок‚ и расстояние в 200 км выглядит более типичным для задачи‚ где выделяется круглая сумма в 100 км. В любом случае‚ вопрос задачи — найти расстояние.

Ответ

В зависимости от выбранного корня расстояние может быть:

• 200 км (при скорости 50 км/ч)
• 160 км (при скорости 40 км/ч)

В классическом решении‚ которое ожидается в школе по учебнику Макарычева (задача №710)‚ правильным ответом считается 200 км.

Полезные советы при решении задач на движение

1. Всегда делайте краткую запись. Выписывайте данные для «туда» и «обратно» в виде таблицы. Это помогает не запутаться в условиях.
2. Следите за единицами измерения. Если скорость в км/ч‚ то время обязательно должно быть в часах‚ а расстояние в километрах; Перевод минут в часы — самое частое место‚ где допускаются ошибки.
3. Проверяйте реальность полученных ответов. Скорость не может быть отрицательной‚ а время — равным нулю. Если у вас получилось‚ что мотоциклист ехал со скоростью -5 км/ч‚ смело отбрасывайте этот корень.
4. Помните о физических ограничениях. В нашей задаче скорость на втором участке (x ─ 10) должна быть больше нуля‚ откуда следует‚ что x > 10.

Регулярная практика в решении подобных сюжетных задач, ключ к успешной сдаче экзаменов по математике‚ будь то ОГЭ‚ ЕГЭ или просто контрольная работа в школе. Умение строить математические модели процессов поможет вам не только в учебе‚ но и в жизни!