Курс «Алгебра и начала математического анализа» (далее – Алгебра‑АМА) является базовым
учебным материалом для учащихся 10‑11‑х классов профильных школ. Он объединяет традиционную
школьную алгебру, тригонометрию, комплексные числа и первые понятия математического анализа
(предел, производная). Курс издаётся в виде двух томов: учебник (часть 1) и
задчник (часть 2). В этой статье рассматривается именно вторая часть – задачник,
который помогает закрепить теорию, развить навыки решения типовых и творческих задач,
а также подготовиться к ЕГЭ и олимпиадам.
Структура двухтомного комплекта
- Часть 1 – учебник. Содержит теоретический материал, доказательства, примеры и
короткие упражнения. Охватывает 8 глав (от действительных чисел до комбинаторики). - Часть 2 – задачник. Предназначен для самостоятельного отработы материала.
Включает более 300 задач различной сложности, а также дополнительные задачи и
задачи‑проектов.
Кратко о первой части
Учебник вводит основные понятия: натуральные, целые и рациональные числа; функции,
тригонометрию, комплексные числа, пределы и производные. Каждая глава завершается
небольшим набором упражнений, которые в задачнике развиваются в более сложные
задачи.
Подробный обзор второй части (задчника)
Глава 1. Действительные числа
Содержит задачи на:
- Натуральные и целые числа (§ 1);
- Рациональные и иррациональные числа (§ 2‑3);
- Модуль числа (§ 5);
- Метод математической индукции (§ 6).
Особое внимание уделяется задачам, где требуется сравнивать величины,
использовать свойства модуля и применять индукцию к неочевидным формулам.
Глава 2. Числовые функции
Раздел охватывает определение функции, способы её задания, свойства,
периодические функции и обратные функции. Примеры задач:
- Построение графика функции, заданной таблицей значений;
- Исследование монотонности и ограниченности;
- Нахождение обратной функции и её области определения.
Глава 3. Тригонометрические функции
Эта глава – самая объёмная (пунктов 11‑21). В задачнике рассматриваются:
- Числовая окружность и её координатное представление;
- Синус, косинус, тангенс, котангенс: свойства, графики, периодичность;
- Построение графиков функций вида y = m·f(kx) (масштабирование и сдвиги);
- Гармонические колебания и их применение в физике;
- Обратные тригонометрические функции и их области значений.
Для каждой темы предложены типовые задачи, а также «трудные» задачи, требующие
комбинирования нескольких свойств (например, преобразование суммы тригонометрических
функций в произведение).
Глава 4. Тригонометрические уравнения
Задачи делятся на две группы:
- Простейшие уравнения и неравенства (§ 22);
- Методы решения более сложных уравнений (§ 23) – приведение к базовым формулам,
использование двойного аргумента, замена переменной.
Глава 5. Преобразование тригонометрических выражений
Содержит 10 пунктов (§ 24‑33). Основные темы:
- Формулы синуса и косинуса суммы/разности;
- Формулы тангенса суммы/разности;
- Формулы приведения и двойного аргумента;
- Преобразование суммы в произведение и наоборот;
- Приведение выражения A·sin x + B·cos x к виду C·sin(x + φ).
Эти задачи часто встречаются в олимпиадных раундах, поэтому в задачнике присутствует
набор «тренировочных» задач с разными уровнями сложности.
Глава 6. Комплексные числа
Задачи охватывают арифметику, геометрическую интерпретацию, тригонометрическую форму,
а также применение к квадратным уравнениям. Особый акцент делается на:
- Преобразование в тригонометрическую форму (§ 34);
- Возведение в степень и извлечение корней (§ 36);
- Решение уравнений вида zⁿ = a в комплексной плоскости.
Глава 7. Производная
Это «вход» в математический анализ. В задачнике рассматриваються:
- Последовательности и их пределы (§ 37‑38);
- Предел функции (§ 39);
- Определение и вычисление производных (§ 40‑41);
- Дифференцирование сложных функций и обратных функций (§ 42);
- Применение производной для исследования монотонности, экстремумов,
построения касательных и поиска экстремальных значений (§ 43‑46).
Для закрепления материала включены задачи, где требуется построить график функции,
используя производную, а также задачи на оптимизацию (минимум расходов, максимум
площади и т.п.).
Глава 8. Комбинаторика и вероятность
Последняя глава вводит базовые принципы:
- Перестановки, сочетания, факториалы (§ 47);
- Биномиальные коэффициенты и их свойства (§ 48);
- Элементарные вероятностные модели (§ 49).
Задачи часто связаны с реальными ситуациями (выбор команды, распределение призов) и
требуют умения быстро находить количество вариантов.
Методические рекомендации для учителя
Информация о методических рекомендациях взята из методичек «Алгебра и начала математического анализа».
- Постепенное усложнение. Начинайте каждую тему с простых задач из раздела
«Задачи на повторение», затем переходите к задачам со скрытыми нюансами,
а в конце – к олимпиадным. - Связь теории и практики. После объяснения формулы (например, формулы двойного
аргумента) сразу предложите 2‑3 задачи, где эта формула необходима. - Работа с ошибками. Поощряйте учащихся записывать, где они «запутались»,
а затем разбирать типичные ошибки (неправильный знак при переходе к модулю,
неверный диапазон аргумента обратной функции и т.п.). - Контрольные листы. Для каждой главы подготовьте короткий лист
«5‑10 ключевых задач», которые можно решить за 10‑15 минут на уроке. - Интеграция с ЕГЭ. Выделяйте задачи, похожие на типовые задания ЕГЭ
(например, «найти значение функции в точке», «решить тригонометрическое уравнение»),
чтобы ученики видели практическую ценность.
Примеры типовых задач и их решения
Задача 1 (Глава 3, § 16)
Условие: Доказать, что график функции y = 2·sin x + √3·cos x можно записать в виде
y = 4·sin (x + π/6).
Решение:
- Запишем выражение в виде A·sin x + B·cos x, где A = 2, B = √3.
- Найдём коэффициент C = √(A² + B²) = √(4 + 3) = √7. Но в условии требуется C = 4,
значит коэффициенты следует масштабировать: умножим обе части на 4/√7. - Определим угол φ из соотношений
cos φ = A/C = 2/4 = ½, sin φ = B/C = √3/4. Отсюда φ = π/6.
Задача 2 (Глава 7, § 44)
Условие: Найти экстремумы функции f(x) = x³ – 6x² + 9x + 1 на отрезке [0;4].
Решение:
- Вычислим производную: f'(x) = 3x² – 12x + 9 = 3(x² – 4x + 3).
- Найдём критические точки: x² – 4x + 3 = 0 ⇒ (x‑1)(x‑3)=0 ⇒ x₁=1, x₂=3.
- Проверим знаки производной на интервалах (0,1), (1,3), (3,4):
- Для x=0.5 → f'(0.5)=3·(0.25‑2+3)=3·1.25>0;
- Для x=2 → f'(2)=3·(4‑8+3)=‑3<0;
- Для x=3.5 → f'(3.5)=3·(12.25‑14+3)=3·1.25>0.
Значит, x=1 – точка максимума, x=3 – точка минимума.
- Вычислим значения функции:
- f(0)=1, f(1)=1‑6+9+1=5;
- f(3)=27‑54+27+1=1;
- f(4)=64‑96+36+1=5.
На отрезке максимум равен 5 (в точках 1 и 4), минимум – 1 (в точках 0 и 3).
Ресурсы для самостоятельного изучения
- Скачать PDF‑версии задачника (6‑е изд., 2009) – 343 стр., 3,4 МБ.
- Онлайн‑тренажёры:
- MathProfi – интерактивные задачи по тригонометрии и комплексным числам;
- EGE‑Math – банк задач, соответствующих формату ЕГЭ.
- Методическое пособие Алгебра и начала математического анализа (Фёдорова, Ткачёва, 5‑е издание, 2023) – содержит рекомендации
по проведению уроков, типовые контрольные и варианты экзаменационных заданий.
Задачник «Алгебра и начала математического анализа. 10‑й класс. В 2‑й части» – это
не просто сборник упражнений, а тщательно продуманный учебный инструмент,
который позволяет ученикам перейти от понимания теории к её активному применению.
Структурированное распределение задач по главам, наличие как простых, так и
олимпиадных примеров, а также методические подсказки делают его незаменимым
как для самостоятельного обучения, так и для работы учителя в классе.
Регулярная работа с этим материалом гарантирует уверенное владение
алгебраическими и аналитическими навыками, необходимыми для успешного
прохождения ЕГЭ, олимпиад и дальнейшего изучения высшей математики.
Дата обращения к источникам: 29 мая 2026 г.