Подобные формулировки часто встречаются в школьной программе по математике и на экзаменах (ОГЭ и ЕГЭ)․ Это классическая текстовая задача на прямолинейное равномерное движение․ Многие ученики испытывают трудности с такими заданиями, но на самом деле их решение строится на простой логике и знании базовой формулы: Путь = Скорость × Время․
В данной статье мы подробно разберем эту задачу, составим математическую модель, шаг за шагом решим уравнение и убедимся, что ничего сложного в ней нет․
Полное условие задачи
Путь из города в село турист прошел со скоростью 4,8 км/ч․ На обратном пути он увеличил скорость до 6 км/ч, что позволило ему пройти это расстояние на 1 час быстрее․ Найдите расстояние от города до села․
Анализ условия и составление таблицы
Самый надежный способ не запутаться в задачах на движение — составить табличку, в которой будут четко расписаны путь, скорость и время для каждого этапа движения․ Обозначим искомое расстояние от города до села как x километров․
- Туда (из города в село):
- Путь: x км
- Скорость: 4,8 км/ч
- Обратно (из села в город):
- Путь: x км (расстояние то же самое)
- Скорость: 6 км/ч (скорость увеличилась)
Связываем данные в уравнение
Теперь нужно использовать оставшееся условие: на обратном пути турист затратил на 1 час меньше (прошел на 1 час быстрее)․ Это означает, что время на путь «туда» больше времени на путь «обратно» ровно на 1 час․
Составляем уравнение:
(Время туда) ー (Время обратно) = 1 час
x / 4,8 ー x / 6 = 1
Решение полученного уравнения
Перед нами дробно-рациональное уравнение․ Чтобы его решить, необходимо привести дроби к общему знаменателю․ Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 4,8 и 6․
- Избавимся от десятичной дроби в знаменателе․ Для этого умножим первую дробь на 10 в числителе и знаменателе (что равно умножению на 1, поэтому суть уравнения не меняется):
10x / 48 ー x / 6 = 1 - Сократим первую дробь на 2:
5x / 24 ⎻ x / 6 = 1 - Теперь общим знаменателем для 24 и 6 является число 24․ Домножим вторую дробь на 4:
5x / 24 ⎻ 4x / 24 = 1 - Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
(5x ー 4x) / 24 = 1
x / 24 = 1 - Умножим обе части уравнения на 24, чтобы избавиться от знаменателя:
x = 24
Проверка и ответ
Мы получили, что расстояние от города до села равно 24 километрам․ В задачах на движение очень важно делать проверку, чтобы убедиться в правильности ответа․
- Путь туда: 24 км со скоростью 4,8 км/ч․ Затраченное время = 24 / 4,8 = 5 часов․
- Путь обратно: 24 км со скоростью 6 км/ч․ Затраченное время = 24 / 6 = 4 часа․
Разница во времени составляет: 5 часов ー 4 часа = 1 час․ Это полностью совпадает с условием задачи (на обратном пути он прошел расстояние на 1 час быстрее)․ Уравнение составлено и решено верно!
Ответ: расстояние от города до села составляет 24 км․ Альтернативный способ решения (через время)
Эту же задачу можно решить, приняв за неизвестную величину не расстояние, а время․ Иногда такой подход оказывается более интуитивно понятным․
Пусть t часов — время, которое турист затратил на путь из города в село; Тогда на обратный путь он затратил (t ⎻ 1) часов․
Так как расстояние в оба конца одинаковое, приравняем выражения для нахождения пути:
4,8 × t = 6 × (t ⎻ 1)
Раскроем скобки:
4,8t = 6t ー 6
Перенесем неизвестные в одну сторону, а числа — в другую:
6 = 6t ⎻ 4,8t
6 = 1,2t
t = 5 часов (время на путь туда)
Теперь легко найти искомое расстояние․ Умножим скорость на время:
S = 4,8 км/ч × 5 ч = 24 км
Как видим, ответ получился тем же самым․ Выбирайте тот способ, который кажется вам более удобным!
Полезные советы для решения задач на движение - Всегда рисуйте схему или составляйте таблицу․ Визуализация помогает не упустить ни одну деталь из условия․
- Следите за единицами измерения․ Если скорость дана в км/ч, а время в минутах, обязательно переведите минуты в часы (или наоборот), чтобы единицы совпадали․
- Не бойтесь десятичных дробей․ Как мы увидели в примере, десятичную дробь 4,8 всегда можно представить в виде обыкновенной (48/10 = 24/5), что сильно упрощает поиск общего знаменателя․
- Делайте проверку․ Это ваша страховка от глупых арифметических ошибок․
Надеемся, что теперь задачи на прямолинейное движение с возвратом обратно не вызовут у вас затруднений․ Главное, внимательно читайте условие, обозначайте неизвестные и правильно составляйте уравнение, опираясь на формулу пути!