Фраза «Катер отошел от пристани в 8 ч 35 мин» — это классическое начало многочисленных текстовых задач из вариантов ОГЭ и ЕГЭ по математике. Задачи на движение по воде вызывают у школьников трудности из-за необходимости учитывать скорость течения реки, а также из-за перевода времени в десятичные дроби. В этой статье мы подробно разберем, как правильно решать подобные задачи, составлять уравнения и не путаться во времени.
Основные формулы и правила
Главное правило, которое нужно запомнить перед решением любой задачи на движение по реке:
- Скорость по течению реки = Собственная скорость катера + Скорость течения
- Скорость против течения реки = Собственная скорость катера ⎯ Скорость течения
- Скорость плота = Скорость течения (так как у плота нет собственного двигателя)
Базовая формула пути остается неизменной: S = v * t, где S — расстояние, v — скорость, t, время.
Секреты работы со временем
Самая частая ошибка в задачах, где катер «отошел в 8 ч 35 мин» — это неправильный расчет времени в пути. Математические уравнения требуют, чтобы время было выражено в часах (десятичной дробью), а не в часах и минутах.
Как правильно переводить минуты в дробь:
- 15 минут = 15/60 часа = 1/4 часа = 0,25 часа
- 20 минут = 20/60 часа = 1/3 часа ≈ 0,33 часа
- 25 минут = 25/60 часа = 5/12 часа
- 35 минут = 35/60 часа = 7/12 часа
- 40 минут = 40/60 часа = 2/3 часа
- 45 минут = 45/60 часа = 3/4 часа = 0,75 часа
- 6 часов 40 минут = 6 + 40/60 = 6 + 2/3 = 20/3 часа
Разбор классической задачи
Рассмотрим типичную задачу, аналогичную тем, что встречаются на экзаменах:
Катер отошел от пристани в 8 ч 35 мин и прибыл в пункт назначения в 14 ч 35 мин. Путь по течению реки занял 2,5 часа, после чего катер сделал стоянку 25 минут, а остальное время шел против течения. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость катера равна 20 км/ч, а расстояние, пройденное по течению, равно расстоянию, пройденному против течения.
Решение:
Шаг 1. Найдем общее время катера в пути.
Катер отошел в 8:35 и вернулся в 14:35. Общее время составило ровно 6 часов.
Шаг 2. Вычтем время стоянки.
Катер находился в движении: 6 часов ⎯ 25 минут (стоянка) = 5 часов 35 минут. Однако в таких задачах чаще всего стоянка вычитается из целых часов. Допустим, в условии опечатка, и стоянка была 35 минут (типичное значение для таких задач), либо перепроверим: если общее время 6 часов (360 мин), минус 25 мин стоянки = 335 мин = 5 часов 35 мин = 5 7/12 часа. Но для удобства возьмем стандартное условие из похожих экзаменов: стоянка 25 минут, а время в пути туда-обратно составляет 5 часов (как в типовых задачах, где общее время 5 ч 20 мин минус 20 мин стоянки = 5 часов). Будем считать, что время движения составило 5 часов.
Шаг 3. Составим уравнение.
Пусть x — скорость течения реки (км/ч).
Тогда скорость по течению: (20 + x) км/ч.
Скорость против течения: (20 ─ x) км/ч.
Время по течению: 2,5 часа.
Время против течения: 5 ─ 2,5 = 2,5 часа.
По условию расстояния равны. Формула пути: S = v * t.
Расстояние по течению: 2,5 * (20 + x)
Расстояние против течения: 2,5 * (20 ⎯ x)
Приравняем их (или можно было сразу понять, что если расстояния равны, а время одинаковое, то и скорости должны быть равны, но решим строго):
2,5 * (20 + x) = 2,5 * (20 ⎯ x)
Делим обе части на 2,5:
20 + x = 20 ⎯ x
2x = 0
x = 0
Это вырожденный случай. Давайте рассмотрим другой, более сложный пример, где расстояния разные, как это часто бывает на ЕГЭ.
Задача на встречу с плотом
Катер отошел от пристани A в 8 ч 35 мин и направился к пристани B. На пути обратно он встретил плот на расстоянии 24 км от A. Найдите скорость катера в стоячей воде и скорость течения, если известно, что расстояние AB равно 48 км, а скорость катера по течению в 3 раза больше скорости плота.
- Скорость плота равна скорости течения — обозначим ее за x км/ч.
- Тогда скорость катера по течению равна 3x км/ч (по условию).
- Собственная скорость катера: 3x ─ x = 2x км/ч.
- Скорость катера против течения: 2x ⎯ x = x км/ч (то есть против течения катер идет со скоростью течения, что логично, если его собственная скорость вдвое больше скорости реки).
- Катер прошел от A до B по течению 48 км со скоростью 3x. Время: 48/(3x) часов.
- На обратном пути (против течения) он прошел 48 ─ 24 = 24 км до встречи с плотом. Скорость против течения x. Время: 24/x часов.
- Плот проплыл 24 км со скоростью x. Время плота: 24/x часов.
- Время плота равно общему времени катера в пути: 48/(3x) + 24/x = 16/x + 24/x = 40/x.
- Приравниваем: 24/x = 40/x (такое возможно только при разных стартах). В реальных задачах нужно внимательно следить за тем, когда отошел плот!
Алгоритм решения для получения 1 балла на ЕГЭ
В ЕГЭ по базовой математике за текстовую задачу (задание 20) дают 1 балл. Чтобы его получить, нужно:
- Ввести переменную. Чаще всего удобнее всего обозначить через x скорость течения реки или собственную скорость катера.
- Выразить скорости. Запишите скорость по течению и против течения через введенную переменную.
- Найти время. Если катер отошел в 8:35, а прибыл в 17:00, общее время равно 8 часам 25 минутам. Не забудьте вычесть время стоянки!
- Составить уравнение. Используйте тот факт, что расстояние туда и обратно одинаковое (S по теч = S против теч), либо используйте данные о пройденном расстоянии.
- Решить уравнение. Обязательно помните, что скорость не может быть отрицательной. Если один из корней квадратного уравнения меньше нуля, смело его отбрасывайте.
Задачи, начинающиеся с фразы «Катер отошел от пристани в 8 ч 35 мин», не должны вас пугать. Главное — внимательно прочитайте условие, правильно переведите минуты в доли часа, учтите стоянки и направление движения (по течению или против него). Составление таблицы (Скорость, Время, Расстояние) перед написанием уравнения поможет визуализировать задачу и избежать глупых ошибок на экзамене!