Фраза «Катер отошел от пристани в 16 ч», это классическое начало множества текстовых задач из вариантов ОГЭ и ЕГЭ по математике. Многие школьники недолюбливают такие задачи, считая их запутанными из-за течения реки, стоянок и сложных уравнений. Однако на самом деле в них нет ничего сложного, если понимать базовые принципы и уметь правильно составить математическую модель реальной ситуации.
В этой статье мы подробно разберем, как решать задачи на движение по воде, научимся правильно учитывать время отправления и прибытия, а также разберем классические примеры, которые могут встретиться на экзамене.
Основные формулы и правила
Прежде чем решать любую задачу, необходимо вспомнить фундаментальную формулу пути:
S = V · t
- S, расстояние (путь)
- V, скорость
- t — время
При движении по воде скорость судна зависит от скорости течения реки. Здесь работают два ключевых правила:
- Скорость по течению реки: Vпо теч = Vсобств + Vтеч
(Собственная скорость катера складывается со скоростью течения, течение помогает). - Скорость против течения реки: Vпротив теч = Vсобств ー Vтеч
(Течение мешает, поэтому вычитаем его скорость из собственной).
В чем кроется подвох времени?
Вернемся к нашей фразе: «Катер отошел от пристани в 16 ч». Почему авторы задач так часто указывают конкретное время (в 11:00, в 16:00 и т.д.)? Это делается для того, чтобы проверить ваше умение считать общее время в пути, особенно если в задаче есть стоянки.
Представьте: катер отошел от пристани в 16:00, прибыл в пункт назначения, простоял там 2 часа и вернулся обратно в 22:00. Как найти чистое время в пути?
Алгоритм прост:
- Находим общее время от отправления до возвращения: 22:00 ─ 16:00 = 6 часов.
- Вычитаем время стоянки: 6 ー 2 = 4 часа.
- Именно эти 4 часа — это суммарное время движения по течению и против течения: tпо теч + tпротив теч = 4.
Разбор классической задачи
Рассмотрим типичную задачу, информация о которой часто встречается в экзаменационных банках:
Условие задачи:
Катер прошёл от одной пристани до другой, расстояние между которыми по реке равно 48 км, сделал стоянку на 20 минут и вернулся обратно через 5 часов 20 минут после начала поездки. Найдите скорость катера в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.
Решение:
Анализ времени.
Общее время с момента отплытия до возвращения: 5 ч 20 мин = 5 rac{1}{3} часа.
Стоянка: 20 мин = rac{1}{3} часа.
Время в пути (сумма времени туда и обратно): 5 rac{1}{3} ─ rac{1}{3} = 5 часов.
Пусть x км/ч, скорость катера в неподвижной воде (собственная скорость).
Тогда скорость по течению: (x + 4) км/ч.
Скорость против течения: (x ─ 4) км/ч.
Выражение времени для каждого участка.
Время по течению (туда): t1 = rac{48}{x + 4}
Время против течения (обратно): t2 = rac{48}{x ー 4}
Составление уравнения.
Так как t1 + t2 = 5, получаем уравнение:
rac{48}{x + 4} + rac{48}{x ─ 4} = 5
Решение уравнения.
Умножим обе части на общий знаменатель (x + 4)(x ─ 4), при условии, что x ≠ 4 и x ≠ -4:
48(x ─ 4) + 48(x + 4) = 5(x2 ー 16)
48x ─ 192 + 48x + 192 = 5x2 ─ 80
96x = 5x2 ー 80
5x2 ─ 96x ─ 80 = 0
Решаем квадратное уравнение через дискриминант:
D = 962 ー 4 · 5 · (-80) = 9216 + 1600 = 10816
√D = 104
x1 = rac{96 + 104}{10} = 20
x2 = rac{96 ─ 104}{10} = -0.8
Отбор корней.
Скорость не может быть отрицательной, поэтому x2 не подходит по смыслу задачи. Следовательно, собственная скорость катера равна 20 км/ч.
Секреты успешного решения на экзамене
Чтобы задачи на движение по воде не вызывали затруднений, соблюдайте несколько простых правил:
- Всегда делайте таблицу. Если выписать условия (Скорость, Время, Расстояние) для движения «по течению» и «против течения» в таблицу, уравнение составится само собой.
- Внимательно переводите время. Ошибка в переводе минут в доли часа (например, 20 минут — это не 0.2 часа, а rac{1}{3}), самая частая и обидная потеря баллов на экзамене.
- Не забывайте про смысл задачи. Скорость катера против течения должна быть больше нуля. Если собственная скорость катера 16 км/ч, а скорость течения 20 км/ч, такой катер не сможет плыть против течения (он будет сносить назад).
- Проверяйте размерность. Если вы умножаете километры на часы — вы получаете км/ч, что неверно (S = Vt, значит V = S/t). Всегда следите за тем, чтобы единицы измерения сокращались корректно.
Фраза «Катер отошел от пристани в 16 ч» — это не повод для паники, а лишь приглашение к несложным логическим рассуждениям. Задачи на движение по воде — это чистая алгебра, замаскированная под реальную жизнь. Главное, правильно перевести слова условия на математический язык, составить верное уравнение и не ошибиться в вычислениях. Практикуйтесь, решайте задания из открытых банков ФИПИ, и вы обязательно справитесь с этой задачей на экзамене!