Текстовые задачи на движение — это неотъемлемая часть школьной программы по алгебре, а также обязательный компонент экзаменов ОГЭ и ЕГЭ (профильный уровень, задание №11). Одной из самых известных и методически важных задач является следующая: «Мотоциклист ехал из одного города в другой 4 ч. На обратном пути первые 100 км он ехал с той же скоростью, а затем уменьшил её на 10 км/ч и поэтому на обратный путь затратил на 30 мин больше. Найдите расстояние между городами».
В этой статье мы подробно разберем алгоритм решения этой задачи, составим математическую модель и найдем ответ. Главное правило при решении подобных задач — составить таблицу, чтобы наглядно увидеть связь между скоростью, временем и расстоянием.
Краткая запись и анализ условия
Прежде чем вводить переменные, выделим ключевую информацию из текста:
- Путь туда: мотоциклист затратил 4 часа.
- Путь обратно: разделен на два участка. Первые 100 км, с той же скоростью, что и на пути туда. Оставшийся путь, со скоростью на 10 км/ч меньше.
- Разница во времени: на обратный путь затрачено на 30 минут больше, чем на путь из А в В.
- Искомое: расстояние между городами.
Обратите внимание на важный нюанс: 30 минут необходимо перевести в часы, так как скорость у нас задана в км/ч. 30 мин = 0,5 ч.
Пусть S — расстояние между городами (то, что нам нужно найти).
Пусть x — скорость мотоциклиста на пути из первого города во второй (в км/ч).
Теперь заполним таблицу для каждого отрезка пути:
Таблица движения
- Путь туда (из А в В):
- Скорость: x км/ч
- Расстояние: S км
Из базовой формулы пути S = V · t получаем наше первое уравнение: S = 4x.
- Обратный путь (первая часть):
- Скорость: x км/ч (по условию, первые 100 км с той же скоростью)
- Расстояние: 100 км
- Обратный путь (вторая часть):
- Скорость: (x ⎯ 10) км/ч (скорость уменьшилась на 10 км/ч)
- Расстояние: (S ⎯ 100) км (так как весь путь S, а первые 100 км уже пройдены)
Составление математической модели (уравнения)
Нам известно, что на обратный путь мотоциклист затратил на 0,5 часа больше, чем на путь туда. То есть:
Время обратно = Время туда + 0,5
Время обратно складывается из времени на первый и второй участки:
100/x + (S ‒ 100)/(x ‒ 10) = 4 + 0,5
Так как мы уже выяснили, что S = 4x, подставим это выражение в наше уравнение вместо S:
100/x + (4x ⎯ 100)/(x ‒ 10) = 4,5
Решение уравнения
Перед нами дробно-рациональное уравнение. Для удобства умножим обе части на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби 4,5:
200/x + 2(4x ⎯ 100)/(x ‒ 10) = 9
Заметим, что в числителе второй дроби можно вынести двойку:
200/x + (8x ⎯ 200)/(x ‒ 10) = 9
А теперь применим очень красивый математический прием: вынесем 8 в числителе второй дроби:
200/x + 8(x ⎯ 25)/(x ⎯ 10) = 9
Перенесем 9 в левую часть с противоположным знаком и приведем все к общему знаменателю. Однако можно поступить проще: перенесем первую дробь вправо:
8(x ‒ 25)/(x ⎯ 10) = 9 ⎯ 200/x
Приведем правую часть к общему знаменателю x:
8(x ⎯ 25)/(x ⎯ 10) = (9x ⎯ 200)/x
Теперь применим свойство пропорции (крест-накрест):
8x(x ⎯ 25) = (x ‒ 10)(9x ‒ 200)
Раскроем скобки:
8x² ‒ 200x = 9x² ⎯ 200x ‒ 90x + 2000
8x² ⎯ 200x = 9x² ‒ 290x + 2000
Перенесем все в левую часть:
8x² ‒ 200x ‒ 9x² + 290x ‒ 2000 = 0
-x² + 90x ‒ 2000 = 0
Умножим на -1 для удобства:
x² ‒ 90x + 2000 = 0
Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант:
D = b² ⎯ 4ac = 90² ⎯ 4 · 1 · 2000 = 8100 ‒ 8000 = 100
x₁ = (90 ‒ 10) / 2 = 40
x₂ = (90 + 10) / 2 = 50
Анализ корней и поиск ответа
Мы получили два возможных значения скорости: 40 км/ч и 50 км/ч. Важно сделать проверку на смысл (ОДЗ): скорость на втором участке обратного пути не может быть отрицательной или нулевой, то есть x ⎯ 10 > 0, следовательно, x > 10. Оба корня удовлетворяют этому условию.
Однако, давайте проверим корень x = 40. Если скорость туда была 40 км/ч, а время 4 ч, то расстояние S = 40 · 4 = 160 км. Но на обратном пути мотоциклист проехал 100 км с прежней скоростью, а затем его скорость стала 40 ‒ 10 = 30 км/ч. Время на обратный путь: 100/40 + 60/30 = 2,5 + 2 = 4,5 часа. Это на 0,5 часа больше, чем 4 часа. Условие сходится!
Проверим корень x = 50. Если скорость туда 50 км/ч, то S = 50 · 4 = 200 км. На обратном пути: 100/50 + 100/40 = 2 + 2,5 = 4,5 часа. Условие также сходится!
Почему два ответа? В таких задачах (из учебника Макарычев, 8 класс) оба ответа математически верны. Но в заданиях ЕГЭ часто требуется указать скорость в строго определенных пределах, или в самом условии может быть оговорка (например, «скорость не превышала 45 км/ч»). Поскольку в нашем исходном условии ограничений нет, мы можем выбрать любой из корней для нахождения расстояния, но традиционно в ответе к этому классическому учебнику указывают 200.
Ответ на вопрос задачи
В задаче требовалось найти расстояние между городами; Вспомним нашу формулу: S = 4x.
Если x = 40, то S = 160 км.
Если x = 50, то S = 200 км.
В большинстве методических материалов и решебников правильным ответом считается 200 км.
Разобранная задача наглядно показывает, что текстовые задачи на движение не представляют особой сложности, если соблюдать строгий алгоритм:
- Внимательно прочитать условие и перевести все величины в единые системы измерения (минуты в часы и т.д.).
- Составить таблицу V, t, S.
- Выразить неизвестные через переменную.
- Составить уравнение, опираясь на логическую связь (разница во времени, равенство путей и т.д.).
- Решить уравнение и обязательно проверить найденные корни на соответствие реальности (ОДЗ).
Запомните этот алгоритм, и задачи из вариантов ЕГЭ или школьных учебников будут даваться вам легко и быстро!