Текстовые задачи на движение, это одни из самых важных и часто встречающихся заданий в школьном курсе математики и на экзаменах. Они учат нас не только применять формулы, но и логически мыслить, а также связывать реальные жизненные ситуации с математическими моделями. В этой статье мы подробно разберем одну из таких классических задач: «Путь из города в село турист прошел со скоростью 4,8 км/ч. На обратном пути он увеличил скорость до 6 км/ч, что позволило ему пройти это расстояние на 1 час быстрее».
Наша цель — не просто найти правильный ответ, но и понять алгоритм решения, который можно будет применять и к другим подобным задачам.
Условие задачи
Для начала сформулируем полное условие задачи, которое часто встречается в учебниках и контрольных заданиях:
Путь из города в село турист прошел со скоростью 4,8 км/ч. На обратном пути он увеличил скорость до 6 км/ч, что позволило ему пройти это расстояние на 1 час быстрее. Найдите расстояние от города до села.
Основные формулы и теория
Прежде чем переходить к решению, вспомним базовую формулу, связывающую расстояние, скорость и время:
S = V × t
- S — расстояние (путь)
- V — скорость
- t — время
Из этой формулы легко выразить время: t = S / V. Именно эта формула понадобится нам для составления уравнения, так как в задаче речь идет о разнице во времени.
Способ 1: Решение через неизвестное расстояние (через x)
Этот способ является самым универсальным и понятным для большинства учеников. Давайте обозначим за x искомое расстояние.
Шаг 1: Составление таблицы и уравнения
Пусть x км — расстояние от города до села. Тогда:
- Путь туда (из города в село):
Скорость равна 4,8 км/ч. Значит, время, затраченное на этот путь, равно x / 4,8 часов. - Обратный путь (из села в город):
Скорость равна 6 км/ч. Значит, время, затраченное на обратный путь, равно x / 6 часов.
Из условия известно, что на обратном пути турист прошел расстояние на 1 час быстрее. Это означает, что времени на обратный путь было затрачено меньше. Составим уравнение:
(x / 4,8) ─ (x / 6) = 1
Шаг 2: Решение уравнения
Чтобы решить это уравнение, приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 4,8 и 6 удобно найти, если умножить 4,8 на 10 и 6 на 10, получив 48 и 60. НОК чисел 48 и 60 равно 24. Но можно пойти более простым путем и просто умножить обе части уравнения на 24 (или использовать десятичные дроби):
Умножим обе части уравнения на 24:
24 × (x / 4,8) ─ 24 × (x / 6) = 24 × 1
24 / 4,8 = 5
24 / 6 = 4
Получаем простое линейное уравнение:
5x ─ 4x = 24
x = 24
Ответ
Расстояние от города до села равно 24 км.
Способ 2: Решение через неизвестное время
Эту же задачу можно решить, приняв за неизвестную величину время. Этот метод часто оказывается даже более изящным.
Пусть x часов, время, затраченное туристом на путь из города в село. Тогда:
- Путь из города в село: S = 4,8 × x
- Обратный путь: он прошел на 1 час быстрее, значит время равно (x ─ 1) часов. Скорость равна 6 км/ч. Тогда путь равен S = 6 × (x ౼ 1)
Шаг 2: Составление и решение уравнения
Так как расстояние туда и обратно одинаковое, приравняем выражения для пути:
4,8x = 6(x ─ 1)
Раскроем скобки:
4,8x = 6x ౼ 6
Перенесем неизвестные в одну сторону, а числа, в другую:
6 = 6x ─ 4,8x
6 = 1,2x
x = 5
Мы нашли время на путь из города в село — 5 часов. Теперь легко найдем само расстояние:
S = 4,8 км/ч × 5 ч = 24 км
Как видим, ответ получился тем же. Расстояние от города до села составляет 24 км.
Проверка решения
Любую задачу на движение полезно проверять. Подставим полученное значение расстояния (24 км) в условие:
- Путь туда: 24 км со скоростью 4,8 км/ч. Время = 24 / 4,8 = 5 часов.
- Обратный путь: 24 км со скоростью 6 км/ч. Время = 24 / 6 = 4 часа.
- Разница во времени: 5 часов ౼ 4 часа = 1 час.
Это полностью соответствует условию задачи (на обратном пути на 1 час быстрее), значит, решение абсолютно верно!
Полезные советы при решении задач на движение
- Всегда делайте таблицу. Запишите в колонки «Скорость», «Время» и «Расстояние» для каждого этапа движения. Это визуализирует задачу и помогает увидеть, какую величину обозначить за x.
- Следите за единицами измерения. Если скорость дана в км/ч, а время в минутах, обязательно переведите всё в одни единицы (например, минуты в часы).
- Внимательно читайте вопрос. Иногда ученики блестяще решают уравнение, находят x, но забывают, что просили найти не x, а, например, расстояние, которое выражается через 4x. Всегда перечитывайте вопрос в конце.
- Не бойтесь десятичных дробей. Как мы видели в этой задаче, скорость 4,8 км/ч не должна вас пугать. Десятичные дроби легко сокращаются при умножении на общий знаменатель.
Задача о туристе, который прошел путь из города в село со скоростью 4,8 км/ч, а вернулся со скоростью 6 км/ч, выиграв 1 час — это отличный пример того, как знание базовой формулы пути и умение составлять простые линейные уравнения помогают быстро находить ответы на практические вопросы. Тренируйтесь на подобных задачах, и любые текстовые задания на экзаменах покажутся вам легкими и понятными!