Текстовые задачи на движение по воде, это неотъемлемая часть школьной программы по математике, а также частый гость на экзаменах ОГЭ и ЕГЭ. Одной из самых известных и показательных является задача, начинающаяся со слов: «Скорость катера береговой охраны в стоячей воде равна 20 км/ч…». В этой статье мы подробно разберем теорию, лежащую в основе таких задач, и решим конкретный пример с путем длиной 396 км.
Теоретическая база: движение по реке
Прежде чем переходить к решению, необходимо четко усвоить правила, по которым рассчитывается скорость объекта на воде. В отличие от движения по суше, река имеет течение, которое либо помогает объекту двигаться быстрее, либо замедляет его.
Введем основные обозначения:
- V — собственная скорость катера (скорость в стоячей воде, например, в озере).
- U — скорость течения реки.
Из этих двух величин складываются скорости движения по реке:
- Скорость по течению реки: катер идет вниз по реке, и течение ему помогает. Скорости складываются.
V по теч. = V + U - Скорость против течения реки: катер идет вверх по реке, преодолевая сопротивление воды. Скорости вычитаются.
V против теч. = V ⎼ U
Важно помнить: скорость катера против течения не может быть отрицательной или равной нулю, иначе он не сможет двигаться вперед. Поэтому V > U.
Условие задачи
Рассмотрим классическую задачу, которая встречается в банке заданий ФИПИ и на различных образовательных платформах:
Скорость катера береговой охраны в стоячей воде равна 20 км/ч. Путь длиной 396 км по течению реки он проплывает на 4 часа быстрее, чем против течения. Найдите скорость течения реки.
Пошаговое решение задачи Шаг 1. Составление математической модели
Пусть x — скорость течения реки (в км/ч). Это наша неизвестная величина, которую нужно найти.
Тогда, опираясь на теорию:
- Скорость катера по течению реки: (20 + x) км/ч
- Скорость катера против течения реки: (20 — x) км/ч
Шаг 2. Выражение времени
Вспомним основную формулу движения: Время = Расстояние / Скорость (t = S / V).
Найдем время, которое катер тратит на путь по течению и против течения:
- Время по течению: t₁ = 396 / (20 + x) часов
- Время против течения: t₂ = 396 / (20 ⎼ x) часов
Шаг 3. Составление уравнения
По условию задачи, путь по течению занимает на 4 часа меньше, чем путь против течения. Это значит, что разница между временем против течения и временем по течению равна 4 часам.
Составляем уравнение:
t₂ ⎼ t₁ = 4
396 / (20 ⎼ x) — 396 / (20 + x) = 4
Шаг 4. Решение уравнения
Для решения этого дробно-рационального уравнения приведем левую часть к общему знаменателю. Общий знаменатель, это произведение (20 — x)(20 + x).
Умножим обе части уравнения на этот знаменатель (при условии, что он не равен нулю, то есть x ≠ 20 и x ≠ -20):
396(20 + x) — 396(20, x) = 4(20 ⎼ x)(20 + x)
Раскроем скобки:
Слева: 396 * 20 + 396x, 396 * 20 + 396x = 792x
Справа: 4 * (400 ⎼ x²) = 1600 ⎼ 4x²
Перенесем все слагаемые в одну сторону:
4x² + 792x ⎼ 1600 = 0
Разделим обе части уравнения на 4 для упрощения:
x² + 198x — 400 = 0
Шаг 5. Нахождение корней квадратного уравнения
Найдем дискриминант по формуле D = b² ⎼ 4ac:
D = 198² ⎼ 4 * 1 * (-400) = 39204 + 1600 = 40804
Извлекаем квадратный корень:
√40804 = 202
Находим корни уравнения:
x₁ = (-198 + 202) / 2 = 4 / 2 = 2
x₂ = (-198 ⎼ 202) / 2 = -400 / 2 = -200
Шаг 6. Анализ и отбор корней
Мы получили два математических корня: 2 и -200. Однако скорость течения реки не может быть отрицательной величиной (это противоречило бы физическому смыслу задачи). Следовательно, корень x = -200 является посторонним и не подходит.
Значит, скорость течения реки равна 2 км/ч.
Проверка результата
Всегда полезно сделать проверку, чтобы убедиться в правильности ответа:
- Скорость по течению: 20 + 2 = 22 км/ч. Время: 396 / 22 = 18 часов.
- Скорость против течения: 20 — 2 = 18 км/ч. Время: 396 / 18 = 22 часа.
- Разница во времени: 22 — 18 = 4 часа.
Условие задачи полностью соблюдено. Ответ верный!
Задачи на движение по воде могут казаться сложными из-за обилия переменных и дробей, однако их решение сводится к простому алгоритму. Главное — правильно определить скорости по течению и против течения, грамотно выразить время и составить уравнение, опираясь на текст условия. Помните, что собственная скорость катера (в нашей задаче это 20 км/ч) всегда больше скорости течения, что помогает при отборе корней квадратного уравнения.