Текстовые задачи на движение — это классический раздел математики, с которым сталкиваются школьники на ОГЭ, ЕГЭ и на уроках алгебры в 8 классе. Одним из самых популярных типов задач является сценарий, когда два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой, причем скорость первого на 20 км/ч больше скорости второго. Из-за этой разницы в скоростях первый автомобиль прибывает в пункт назначения раньше второго;
В этой статье мы подробно разберем алгоритм решения подобных задач, составим математическую модель и покажем, как правильно работать с дробными значениями времени, которые часто встречаются в таких заданиях.
Суть задачи и основные формулы
Прежде чем переходить к решению, давайте вспомним базовую формулу прямолинейного равномерного движения:
S = V × t
Где:
- S — расстояние между городами (путь);
- V — скорость движения автомобиля;
- t, время в пути.
Из этой формулы легко выразить время: t = S / V. Именно эта формула чаще всего используется при составлении уравнений в задачах, где сравнивается время двух движущихся объектов.
Классический пример задачи
Рассмотрим типичную формулировку, которая часто встречается в учебниках Макарычева, Мордковича и в банке заданий ЕГЭ:
Условие задачи
Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой. Скорость первого автомобиля на 20 км/ч больше скорости второго, и поэтому первый автомобиль приезжает на место на 2 часа 24 минуты раньше второго. Известно, что расстояние между городами равно 420 км. Найдите скорость каждого автомобиля.
Пошаговое решение задачи
Шаг 1. Перевод единиц измерения времени
Это один из самых важных и коварных этапов. В математических уравнениях время должно быть выражено в одних и тех же единицах — в часах. Переведем 2 часа 24 минуты в часы.
Поскольку в 1 часе 60 минут:
24 минуты = 24 / 60 часа = 2 / 5 часа = 0,4 часа.
Следовательно, 2 ч 24 мин = 2,4 часа.
Для наглядности составим таблицу. Пусть x — скорость второго автомобиля (км/ч). Так как в задаче спрашивается скорость обоих, принимаем за x меньшую скорость, чтобы избежать отрицательных чисел при вычитании.
Тогда скорость первого автомобиля будет (x + 20) км/ч.
- Заполним колонку расстояний: оба автомобиля проехали по 420 км.
- Заполним колонку времени, разделив расстояние на скорость:
Время второго: 420 / x
Время первого: 420 / (x + 20)
Шаг 3. Составление математического уравнения
По условию задачи первый автомобиль приехал на 2,4 часа раньше. Это означает, что он находился в пути на 2,4 часа меньше, чем второй. Чтобы уравнять время, мы должны к меньшему времени первого автомобиля прибавить разницу в 2,4 часа.
420 / (x + 20) + 2,4 = 420 / x
Шаг 4. Решение уравнения
Перенесем все дроби в одну сторону, а целое число, в другую:
420 / x ─ 420 / (x + 20) = 2,4
Приведем левую часть к общему знаменателю x(x + 20):
(420(x + 20) ― 420x) / (x(x + 20)) = 2,4
Раскроем скобки в числителе:
(420x + 8400 ― 420x) / (x² + 20x) = 2,4
8400 / (x² + 20x) = 2,4
Избавимся от дроби методом пропорции (крест-накрест):
2,4(x² + 20x) = 8400
Разделим обе части на 2,4 для упрощения вычислений:
x² + 20x = 3500
Получили квадратное уравнение. Перенесем 3500 влево:
x² + 20x ─ 3500 = 0
Шаг 5. Нахождение корней и анализ ответа
Найдем дискриминант квадратного уравнения:
D = b² ─ 4ac = 20² ─ 4 × 1 × (-3500) = 400 + 14000 = 14400
√D = 120
Найдем корни уравнения:
x₁ = (-20 + 120) / 2 = 100 / 2 = 50
x₂ = (-20 ― 120) / 2 = -140 / 2 = -70
Так как скорость не может быть отрицательной величиной, мы отбрасываем корень x₂ = -70.
Таким образом:
- Скорость второго автомобиля: x = 50 км/ч
- Скорость первого автомобиля: x + 20 = 70 км/ч
Шаг 6. Проверка (самостоятельная)
Всегда полезно сделать проверку:
- Время первого: 420 / 70 = 6 часов.
- Время второго: 420 / 50 = 8,4 часа.
- Разница: 8,4 ― 6 = 2,4 часа, что равно 2 ч 24 мин. Задача решена верно!
Альтернативный вариант задачи (с разницей в 10 км/ч)
В школьных учебниках (например, в задачах Макарычева за 8 класс) часто встречается похожая формулировка, но с другими числовыми данными. Например:
Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой. Скорость первого на 10 км/ч больше скорости второго, и поэтому первый автомобиль приезжает на место на 1 ч раньше второго. Расстояние между городами равно 560 км. Найдите скорость каждого автомобиля.
Алгоритм решения будет абсолютно идентичным:
- Пусть x — скорость второго, тогда (x + 10) — скорость первого.
- Уравнение примет вид: 560 / x ─ 560 / (x + 10) = 1
- После приведения к общему знаменателю получим: x² + 10x ─ 5600 = 0
- Корни этого уравнения: x₁ = 70, x₂ = -80.
- Ответ: скорость второго — 70 км/ч, первого — 80 км/ч.
Главные правила при решении задач на движение
Чтобы не допускать ошибок при решении подобных текстовых задач, запомните следующие важные принципы:
- Всегда переводите время в одни единицы. Если скорость в км/ч, то время обязательно должно быть в часах, а не в часах и минутах.
- Правильно определяйте знак разницы. Если один приехал раньше, значит, его время меньше. Чтобы уравнять большее время с меньшим, нужно к меньшему прибавить разницу, либо из большего вычесть разницу.
- Выбирайте неизвестную с умом. За x лучше принимать ту величину, которую просят найти, или ту, с которой удобнее составить уравнение (обычно это скорость того, кто двигался медленнее).
- Не забывайте про ОДЗ (область допустимых значений). Знаменатель не должен равняться нулю, а скорость и расстояние не могут быть отрицательными.
Задачи, где два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой, а скорость первого на 20 км/ч (или на 10 км/ч) больше, сводятся к простому дробно-рациональному уравнению. Главное — внимательно прочитайте условие, грамотно составьте таблицу данных, переведите минуты в часы и аккуратно решите квадратное уравнение. Практикуйтесь на разных числовых данных, и текстовые задачи на движение перестанут вызывать у вас трудности!