Фраза «От пристани отправился теплоход со скоростью 18 км в ч», это классическое начало множества задач по математике, с которыми школьники сталкиваются на ОГЭ, ЕГЭ и олимпиадах. Задачи на движение по воде всегда вызывают интерес, поскольку они требуют не только умения считать, но и понимания физических процессов: как течение реки влияет на скорость судна при движении туда и обратно.
В этой статье мы подробно разберем основные типы задач, где фигурирует теплоход со скоростью 18 км/ч, научимся составлять уравнения и поймем логику их решения.
Основные правила движения по воде
Прежде чем переходить к решению конкретных задач, необходимо твердо усвоить несколько базовых формул. Если собственная скорость теплохода (в неподвижной воде) равна V, а скорость течения реки равна U, то:
- Скорость по течению: V + U (течение помогает, скорости складываются)
- Скорость против течения: V ⎯ U (течение мешает, скорости вычитаются)
- Время в пути: t = S / V (расстояние делим на скорость)
Теперь применим эти знания на практике, опираясь на реальные примеры из экзаменов.
Задача 1: Круговой рейс со стоянкой
Условие задачи
Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 18 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 2 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в исходный пункт теплоход возвращается через 56 часов после отплытия из него. Сколько километров прошел теплоход за весь рейс?
Решение
- Определим скорости движения:
- Скорость по течению: 18 + 2 = 20 км/ч
- Скорость против течения: 18 ⎯ 2 = 16 км/ч
- Определим время в пути:
Общее время составило 56 часов. Из них 2 часа теплоход стоял, значит, чистое время в движении: 56 ⎯ 2 = 54 часа.
- Составим уравнение:
Пусть S — расстояние в один конец (от пристани до точки разворота). Тогда путь по течению занял S/20 часов, а против течения — S/16 часов.
S/20 + S/16 = 54
- Решим уравнение:
Приведем к общему знаменателю (80):
4S/80 + 5S/80 = 54
9S/80 = 54
9S = 54 * 80
9S = 4320
S = 480 км (это путь в одну сторону)
- Найдем весь пройденный путь:
Теплоход шел туда и обратно, значит, весь рейс составил: 480 * 2 = 960 км.
Ответ: 960 км.
Задача 2: Движение по и против течения с неизвестной скоростью реки
Теплоход, собственная скорость которого 18 км/ч, прошел 50 км по течению реки и 8 км против течения, затратив на весь путь 3 часа. Найдите скорость течения реки.
Это более сложная задача, приводящая к квадратному уравнению.
- Введем переменную:
Пусть x — скорость течения реки (км/ч). Тогда:
- Скорость по течению: (18 + x)
- Скорость против течения: (18 ー x)
- Выразим время:
Время пути по течению: 50 / (18 + x)
Время пути против течения: 8 / (18 ー x)
Общее время равно 3 часам. Составляем уравнение:
50 / (18 + x) + 8 / (18 ー x) = 3
- Решим уравнение:
Умножим обе части на (18 + x)(18 ⎯ x), при условии, что x ≠ 18:
50(18 ⎯ x) + 8(18 + x) = 3(18² ー x²)
900 ⎯ 50x + 144 + 8x = 3(324 ー x²)
1044 ⎯ 42x = 972 ー 3x²
Перенесем все в левую часть:
3x² ー 42x + 72 = 0
Разделим уравнение на 3 для упрощения:
x² ー 14x + 24 = 0
- Найдем корни:
По теореме Виета или через дискриминант получаем корни: x₁ = 12, x₂ = 2.
- Проанализируем ответ:
Скорость течения реки не может быть равна 12 км/ч, так как в этом случае скорость теплохода против течения стала бы (18 ー 12) = 6 км/ч, что математически возможно, но физически маловероятно для стандартных речных задач (и часто противоречит логике условия). Более того, в типовых школьных задачах скорость течения обычно невелика. Поэтому мы отвергаем x = 12.
Остается x = 2 км/ч.
Ответ: 2 км/ч.
Алгоритм успеха: как решать задачи на движение
Чтобы легко справляться с любыми задачами, где от пристани отправляется теплоход, запомните следующий алгоритм:
- Всегда начинайте с таблицы или краткой записи. Выпишите собственную скорость, скорость течения, скорости по и против течения.
- Обозначьте неизвестное. Чаще всего это расстояние (S) или скорость течения (x). Реже — время.
- Составьте уравнение. Чаще всего оно строится на времени: время туда + время обратно = общее время (не забудьте вычесть время стоянки из общего времени!).
- Внимательно считайте. Дроби приводите к общему знаменателю, не забывайте про знаки при переносе членов уравнения.
- Проверяйте корни на адекватность. Скорость не может быть отрицательной, а скорость течения реки в реальных условиях редко превышает 5-6 км/ч для обычных равнинных рек;
Задачи про теплоход, отправляющийся от пристани со скоростью 18 км/ч, — это отличная тренировка логики и внимательности. Они учат нас учитывать внешние обстоятельства (в данном случае — течение реки) и видеть, как одно и то же расстояние преодолевается с разной скоростью и затратами времени. Практикуйтесь, решайте различные варианты, и на экзамене вы сможете пройти этот путь так же уверенно, как теплоход по реке!