Задачи на прямолинейное движение — классический раздел физики и математики, с которым сталкиваются школьники при подготовке к ЕГЭ и ОГЭ․ Одной из самых известных и коварных задач является следующая: «Велосипедист ехал из одного города в другой․ Половину пути он проехал со скоростью 12 км/ч․ Далее половину оставшегося времени он ехал со скоростью 6 км/ч, а затем до конца пути шел пешком со скоростью 4 км/ч․ Найдите среднюю скорость велосипедиста на всем пути»․

В этой статье мы подробно разберем алгоритм решения этой задачи, покажем типичные ошибки и докажем, почему среднюю скорость нельзя находить как обычное среднее арифметическое․

Суть задачи и главная ловушка

Формулировка задачи специально запутывает ученика, смешивая понятия «половина пути» и «половина оставшегося времени»․ Первая часть пути определяется через расстояние, а вторая и третья — через время․ Это ключевой момент, без понимания которого задача не решится․

Самая частая ошибка — попытка найти среднюю скорость как среднее арифметическое всех скоростей:

Vср ≠ (12 + 6 + 4) / 3

Это грубая ошибка! Средняя скорость — это отношение всего пройденного пути ко всему затраченному времени․ И поскольку велосипедист двигался с разной скоростью разное количество времени, складывать скорости нельзя․

Алгоритм решения: пошаговый разбор

Чтобы не запутаться, давайте введем переменные для всего пути и всего времени․ Пусть:

• S — весь путь между городами;
• T — все время, затраченное на поездку․

Шаг 1․ Разбираем первый участок пути

По условию, половину пути велосипедист проехал со скоростью V₁ = 12 км/ч;

Следовательно, расстояние первого участка: S₁ = S/2․

Время, затраченное на этот участок: t₁ = S₁ / V₁ = (S/2) / 12 = S/24․

Шаг 2․ Разбираем второй участок пути

Далее сказано: половину оставшегося времени он ехал со скоростью V₂ = 6 км/ч․

Оставшееся время после первого участка — это T ⸺ t₁․ Значит, время на втором участке: t₂ = (T ⏤ t₁) / 2․

Расстояние второго участка: S₂ = V₂ * t₂ = 6 * (T ⏤ t₁) / 2 = 3 * (T ⏤ t₁)․

Шаг 3․ Разбираем третий участок пути

Последний участок пути велосипедист шел пешком со скоростью V₃ = 4 км/ч․ Это время — вторая половина оставшегося времени․

Следовательно, время на третьем участке: t₃ = (T ⏤ t₁) / 2․

Расстояние третьего участка: S₃ = V₃ * t₃ = 4 * (T ⸺ t₁) / 2 = 2 * (T ⏤ t₁)․

Шаг 4․ Составляем уравнение для всего пути

Мы знаем, что сумма расстояний всех трех участков равна всему пути S:

S₁ + S₂ + S₃ = S

Подставляем наши значения:

S/2 + 3 * (T ⏤ t₁) + 2 * (T ⸺ t₁) = S

Упрощаем выражение, складывая подобные слагаемые:

S/2 + 5 * (T ⏤ t₁) = S

Переносим S/2 в правую часть:

5 * (T ⸺ t₁) = S ⸺ S/2 = S/2

Отсюда находим выражение для оставшегося времени:

T ⏤ t₁ = S/10

Шаг 5․ Находим всё время (T)

Вспомним, что t₁ = S/24․ Подставим это в уравнение:

T ⸺ S/24 = S/10

T = S/10 + S/24

Приведем к общему знаменателю (120):

T = 12S/120 + 5S/120 = 17S/120

Шаг 6․ Рассчитываем среднюю скорость

Теперь у нас есть всё необходимое для расчета средней скорости․ Формула средней скорости:

Vср = S / T

Подставляем найденное время T:

Vср = S / (17S/120) = S * 120 / 17S = 120 / 17 ≈ 7,06 км/ч

Альтернативный метод: метод пропорций (без S и T)

Многие ученики пугаются переменных S и T․ Можно решить задачу проще, опираясь на логику и пропорции, как это часто советуют на профильных форумах․

1. Примем весь путь за условные 4 доли (почему 4 — станет понятно ниже)․
2. Первую половину пути (то есть 2 доли) велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч․
3. Оставшийся путь — это тоже 2 доли․ На втором и третьем участках он двигался какое-то одинаковое время (половину оставшегося времени)․ Расстояния за это время относятся как скорости: 6 км/ч и 4 км/ч, то есть как 6:4, или 3:2․
4. Значит, из оставшихся 2 долей на втором участке пришлось 1,2 доли (3/5 от 2), а на третьем — 0,8 доли (2/5 от 2)․
5. Теперь найдем время на каждом участке в этих долях:
   • t₁ = 2 / 12 = 1/6
   • t₂ = 1,2 / 6 = 1/5
   • t₃ = 0,8 / 4 = 1/5
6. Общее время: T = 1/6 + 1/5 + 1/5 = 1/6 + 2/5 = 5/30 + 12/30 = 17/30․
7. Средняя скорость: весь путь (4) делим на всё время (17/30) = 4 * 30 / 17 = 120 / 17 ≈ 7,06 км/ч․

Как видим, ответ совпал! Округляя до десятых, получаем 7,1 км/ч․ В некоторых базах заданий (например, на Uchi․ru или в вариантах Ларина) можно встретить упрощенные версии этой задачи, где ответ получается целым числом (например, 8,5 км/ч при других скоростях), но классическая задача с ответом 120/17 является самой поучительной․

Задача про велосипедиста, который ехал из одного города в другой с разными скоростями на разных участках, отлично тренирует внимательность․ Главный вывод, который нужно сделать: всегда внимательно читайте условие и четко разделяйте, где дана доля от пути, а где — доля от времени․ Использование единой формулы средней скорости (Весь путь / Всё время) и правильное алгебраическое описание процессов гарантирует вам успешное решение любых задач на движение!