Задание под номером 99600 из известной базы подготовки к ЕГЭ по математике — это классическая и очень интересная задача на круговое движение. Она проверяет не только умение считать, но и пространственное мышление, а также понимание относительного движения.
Условие задачи звучит так:
Условие задачи
Часы со стрелками показывают 8 часов ровно. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?
На первый взгляд может показаться, что для решения нужно выписывать сложные уравнения, однако существует несколько способов решения — от самого короткого и логического до строгого аналитического. Давайте разберем каждый из них.
Способ 1: Короткое логическое решение
Это самый изящный и быстрый способ прийти к правильному ответу. Достаточно просто представить циферблат и проследить за встречами стрелок:
- Первая встреча произойдет где-то между 8 и 9 часами (минутная стрелка догонит часовую).
- Вторая встреча будет между 9 и 10 часами.
- Третья встреча состоится между 10 и 11 часами.
- Четвертая встреча произойдет ровно между 11 и 12 часами, а именно ровно в 12:00, когда обе стрелки укажут на цифру 12.
Теперь посчитаем время: от 8:00 до 12:00 ровно 4 часа. Переводим часы в минуты:
4 часа × 60 минут = 240 минут.
Вот и весь ответ! Однако на экзамене может попасться задача с другими начальными условиями, для которых этот метод не сработает. Поэтому важно знать и математические подходы.
Способ 2: Арифметическое решение (через скорость)
Этот метод опирается на скорости движения стрелок. Известно, что:
- Скорость минутной стрелки — 1 круг в час.
- Скорость часовой стрелки — 1/12 круга в час.
Поскольку стрелки движутся в одном направлении, скорость их сближения (или удаления) равна разности их скоростей:
1 ─ 1/12 = 11/12 круга в час.
В начальный момент (в 8:00) расстояние между стрелками по окружности составляет 8 часовых делений. Поскольку в полном круге 60 минут, 8 делений, это 40 минут, или 2/3 круга.
С момента первой встречи до момента четвертой встречи минутная стрелка должна опередить часовую ровно на 3 полных круга. Таким образом, общее расстояние, которое должна пройти минутная стрелка относительно часовой, равно:
2/3 (начальное отставание) + 3 (три круга опережения) = 11/3 круга.
Чтобы найти время, разделим относительное расстояние на скорость сближения:
Время = (11/3) / (11/12) = (11/3) × (12/11) = 12/3 = 4 часа.
Переводим в минуты: 4 × 60 = 240 минут.
Способ 3: Решение в общем виде (через градусы)
Этот способ позволяет найти время встречи для любого начального времени h часов m минут.
Скорости вращения стрелок в градусах в минуту:
- Минутная: 6°/мин (360° за 60 минут).
- Часовая: 0,5°/мин (360° за 720 минут).
В начальный момент (8:00) часовая стрелка находится на отметке 8 × 30° = 240°, а минутная на 0°. Пусть до первой встречи пройдет t₁ минут. Тогда:
6 × t₁ = 240 + 0,5 × t₁
5,5 × t₁ = 240
t₁ = 240 / 5,5 = 480/11 минут.
Для всех последующих встреч стрелкам нужно проходить полный круг относительно друг друга. Пусть время между первой и второй встречей равно t₂. Тогда:
6 × t₂ = 360 + 0,5 × t₂
5,5 × t₂ = 360
t₂ = 360 / 5,5 = 720/11 минут.
Это время (720/11 минут) одинаково для каждого следующего оборота (от второй до третьей, от третьей до четвертой встречи). Общее время до четвертой встречи:
T = t₁ + 3 × t₂ = 480/11 + 3 × 720/11 = 480/11 + 2160/11 = 2640/11 = 240 минут.
Способ 4: Через геометрическую прогрессию
Это нестандартный, но очень красивый математический подход, предложенный Эмилем Бахшиняном. Поскольку минутная стрелка движется в 12 раз быстрее часовой, можно рассмотреть расстояния между стрелками как бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.
Изначально минутной стрелке нужно пройти 40 минут. Пока она проходит эти 40 минут, часовая отдалится от своего исходного положения на 40/12 минуты. Пока минутная проходит эти 40/12 минуты, часовая пройдет еще (40/12)/12 минуты, и т.д..
Эти расстояния образуют геометрическую прогрессию:
Первый член: b₁ = 40
Знаменатель: q = 1/12
Время до первой встречи — это сумма этой прогрессии, умноженная на скорость минутной стрелки (1 минута = 1 деление в минуту):
S₁ = b₁ / (1 ─ q) = 40 / (1 — 1/12) = 40 / (11/12) = 480/11 минут.
Аналогично, время от первой встречи до второй (и всех последующих) — это сумма прогрессии, где первый член равен полному кругу (60 минут), а знаменатель тот же:
S₂ = 60 / (1 ─ 1/12) = 60 / (11/12) = 720/11 минут.
Общее время до четвертой встречи:
T = S₁ + 3 × S₂ = 480/11 + 2160/11 = 2640/11 = 240 минут.
Какой бы способ вы ни выбрали — будь то простая логика, арифметика, уравнения с градусами или геометрическая прогрессия — ответ получается одинаковым.
Ответ: 240
Для успешной сдачи экзамена рекомендуется освоить арифметический или градусный методы, так как они универсальны и подходят для решения любых аналогичных задач, даже если начальное время не кратно целому часу.