Задачи на движение — это классический раздел математики, с которым сталкивается каждый школьник. Одной из самых известных и типичных задач является следующая: «Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой. Скорость первого на 10 км/ч больше скорости второго, и поэтому первый автомобиль приезжает на место на 1 час раньше второго». В этой статье мы подробно разберем эту задачу, составим математическую модель и шаг за шагом решим её.
Условие задачи
Для того чтобы решение было максимально наглядным, возьмем наиболее популярную версию этой задачи, в которой указано точное расстояние между городами:
Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой, находящийся на расстоянии 560 км. Скорость первого на 10 км/ч больше скорости второго, и поэтому первый автомобиль приезжает на место на 1 ч раньше второго. Определите скорость каждого автомобиля.
Краткая запись и анализ условия
Прежде чем вводить переменные, давайте структурируем известные данные. Удобнее всего сделать это в виде списка:
- Расстояние (S): 560 км (одинаково для обоих автомобилей).
- Скорость первого автомобиля (V₁): неизвестна, но на 10 км/ч больше, чем у второго.
- Скорость второго автомобиля (V₂): неизвестна.
- Время в пути первого (t₁): неизвестно, но на 1 час меньше, чем у второго.
- Время в пути второго (t₂): неизвестно.
Основная формула, которая связывает эти величины: S = V × t, откуда следует, что t = S / V.
Составление математической модели
Самый удобный способ решать такие задачи — обозначить за x ту величину, которую нужно найти. Однако, чтобы избежать работы с дробями при составлении уравнения, часто за x принимают скорость второго (более медленного) автомобиля.
Пусть:
- x — скорость второго автомобиля (в км/ч).
- Тогда (x + 10) — скорость первого автомобиля (в км/ч).
Теперь выразим время каждого автомобиля через расстояние и скорость:
- Время второго: t₂ = 560 / x
- Время первого: t₁ = 560 / (x + 10)
По условию задачи первый автомобиль приехал на 1 час раньше, то есть он находился в пути на 1 час меньше. Это означает, что время второго автомобиля больше времени первого на 1 час. Составляем уравнение:
560/x ౼ 560/(x + 10) = 1
Решение уравнения
Теперь приступим к математическому решению полученного уравнения.
Шаг 1: Избавляемся от дробей
Для этого найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ). В нашем случае это x(x + 10). Умножим каждый член уравнения на НОЗ:
x(x + 10) × (560/x) ⎻ x(x + 10) × (560/(x + 10)) = 1 × x(x + 10)
После сокращения дробей получаем:
560(x + 10) ౼ 560x = x(x + 10)
Шаг 2: Раскрываем скобки и упрощаем
Раскроем скобки в левой и правой частях уравнения:
560x + 5600 ⎻ 560x = x² + 10x
Сокращаем 560x в левой части:
5600 = x² + 10x
Шаг 3: Приводим к стандартному виду квадратного уравнения
Перенесем 5600 в правую часть с противоположным знаком:
x² + 10x ⎻ 5600 = 0
Шаг 4: Находим корни уравнения
У нас получилось приведенное квадратное уравнение. Его можно решить через дискриминант или по теореме Виета. Воспользуемся теоремой Виета, которая гласит, что сумма корней равна -b, а произведение равно c. Нам нужно найти два числа, которые в сумме дают -10, а при умножении -5600.
Этими числами являются 70 и -80, так как:
- 70 + (-80) = -10
- 70 × (-80) = -5600
Следовательно, корни уравнения: x₁ = 70, x₂ = -80.
Шаг 5: Анализ корней и выбор ответа
Поскольку x обозначает скорость автомобиля, она не может быть отрицательной. Поэтому корень x = -80 не подходит по смыслу задачи (так называемый посторонний корень).
Значит, скорость второго автомобиля равна 70 км/ч.
Теперь найдем скорость первого автомобиля:
x + 10 = 70 + 10 = 80 км/ч
Проверка решения
Любую задачу на движение полезно проверять. Подставим полученные значения в условие:
- Время первого автомобиля: 560 / 80 = 7 часов.
- Время второго автомобиля: 560 / 70 = 8 часов.
- Разница во времени: 8 ⎻ 7 = 1 час.
Условие задачи полностью соблюдено: первый автомобиль приезжает ровно на 1 час раньше второго.
Ответ к задаче:
- Скорость первого автомобиля, 80 км/ч
- Скорость второго автомобиля — 70 км/ч