Задачи на движение — это неотъемлемая часть школьной программы по математике и алгебре, а также частый гость на экзаменах ЕГЭ и ОГЭ. Одной из самых известных и интересных задач, с которой сталкиваются ученики 8-х классов (по учебнику Макарычева) и выпускники, является следующая: «Мотоциклист ехал из одного города в другой 4 ч. На обратном пути первые 100 км он ехал с той же скоростью, а затем уменьшил её на 10 км/ч и поэтому на обратный путь затратил на 30 мин больше. Найдите расстояние между городами».

В этой статье мы подробно разберем эту задачу, составим математическую модель, решим уравнение и проанализируем ответ. Кроме того, мы рассмотрим базовые принципы решения текстовых задач на прямолинейное движение.

Основные формулы и концепции

Прежде чем переходить к решению сложной задачи, необходимо вспомнить золотое правило движения:

• Расстояние (S) — путь, пройденный объектом.
• Скорость (V) — расстояние, пройденное за единицу времени.
• Время (t) — длительность нахождения в пути.

Связь этих величин выражается знакомой всем формулой:

S = V × t

Отсюда легко найти скорость (V = S / t) и время (t = S / V). Именно последняя формула чаще всего используется при составлении уравнений в задачах на движение, так как время часто выступает неизвестной величиной, которую удобнее всего выразить через расстояние и скорость.

Разбор задачи: Мотоциклист ехал из одного города в другой 4 ч

Шаг 1: Анализ условия и введение переменной

Итак, мотоциклист ехал из одного города в другой 4 ч. Пусть расстояние между городами равно S км, а скорость мотоциклиста на пути туда равна v км/ч.

Тогда, согласно формуле, на путь туда мотоциклист затратил 4 часа:

S = 4 × v

Шаг 2: Описание обратного пути

На обратном пути ситуация изменилась. Разобьем обратный путь на два участка:

1. Первые 100 км: мотоциклист ехал с той же скоростью, то есть v км/ч. Время, затраченное на этот участок, равно 100 / v часов.
2. Оставшийся путь: так как общее расстояние S, а за первые 100 км он уже проехал часть пути, оставшееся расстояние равно (S — 100) км. Скорость он уменьшил на 10 км/ч, значит, стала она (v ‒ 10) км/ч. Время на этом участке равно (S ‒ 100) / (v — 10) часов.

Шаг 3: Составление уравнения

Известно, что на обратный путь мотоциклист затратил на 30 минут больше, чем на путь из первого города во второй. Путь туда занял 4 часа, следовательно, обратный путь занял 4,5 часа (30 мин = 0,5 ч).

Складываем время на двух участках обратного пути и приравниваем к 4,5 часам:

100/v + (S ‒ 100)/(v ‒ 10) = 4,5

Теперь вспомним, что S = 4v. Подставим это в наше уравнение:

100/v + (4v ‒ 100)/(v — 10) = 4,5

Шаг 4: Решение уравнения

Для решения этого дробно-рационального уравнения умножим обе части на общий знаменатель v(v — 10), при условии, что v > 10 (иначе скорость на втором участке будет отрицательной, что невозможно):

100(v — 10) + v(4v ‒ 100) = 4,5v(v, 10)

Раскроем скобки:

100v ‒ 1000 + 4v² — 100v = 4,5v² — 45v

Упростим левую часть (100v и -100v сокращаются):

4v² ‒ 1000 = 4,5v² ‒ 45v

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

0,5v² — 45v + 1000 = 0

Для удобства умножим все коэффициенты на 2:

v², 90v + 2000 = 0

Найдем дискриминант:

D = (-90)² ‒ 4 × 1 × 2000 = 8100 ‒ 8000 = 100

√D = 10

Корни уравнения:

v₁ = (90 + 10) / 2 = 50

v₂ = (90 ‒ 10) / 2 = 40

Шаг 5: Анализ ответов

Мы получили два возможных значения скорости: 50 км/ч и 40 км/ч. Оба значения больше 10, значит, удовлетворяют условию v > 10. Найдем расстояние S для каждого случая:

• Если v = 50 км/ч, то S = 4 × 50 = 200 км.
• Если v = 40 км/ч, то S = 4 × 40 = 160 км.

Проверка обоих ответов:

1. При S = 200 км и v = 50 км/ч: Обратный путь: 100/50 + (200-100)/(50-10) = 2 + 100/40 = 2 + 2,5 = 4,5 часа. Условие выполнено!
2. При S = 160 км и v = 40 км/ч: Обратный путь: 100/40 + (160-100)/(40-10) = 2,5 + 60/30 = 2,5 + 2 = 4,5 часа. Условие выполнено!

Таким образом, задача имеет два правильных ответа: расстояние между городами может быть 200 км или 160 км.

Другие типовые задачи на движение

Тема движения мотоциклистов и автомобилей очень обширна. Вот несколько других популярных вариаций задач, которые встречаются в школьной практике и на ЕГЭ:

Задача на нахождение скорости на обратном пути

«Из села в город мотоциклист ехал 3 ч со скоростью 60 км/ч. Обратный путь он проехал за 4 ч. С какой скоростью ехал мотоциклист из города в село?»

Решение:

1. Найдем расстояние: S = 3 ч × 60 км/ч = 180 км.
2. Найдем скорость на обратном пути: V = 180 км / 4 ч = 45 км/ч.

Ответ: 45 км/ч.

Встречное движение

«Из города A в город B со скоростью 70 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 80 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города В автомобили встретятся, если расстояние между городами 500 км?»

Решение:

1. За 1 час первый автомобиль проехал 70 км. Остаток пути до встречи: 500, 70 = 430 км.
2. Скорость сближения: 70 + 80 = 150 км/ч;
3. Время до встречи с момента выезда второго: 430 / 150 = 43/15 часа.
4. Расстояние от города В, которое проехал второй автомобиль: 80 × (43/15) ≈ 229,3 км.

Полезные советы при решении текстовых задач

• Делайте таблицы; Записывайте скорость, время и расстояние для каждого участка пути в таблицу. Это помогает визуализировать данные и не запутаться.
• Следите за единицами измерения. Если скорость в км/ч, а время дано в минутах, обязательно переводите минуты в часы (делением на 60), как мы это делали с 30 минутами в главной задаче.
• Проверяйте размерность. Если вы делите километры на километры в час, в ответе должны получиться часы, а не километры.
• Всегда делайте проверку. Подставьте найденные значения в исходное условие, чтобы убедиться, что уравнение составлено и решено верно.

Фраза «Мотоциклист ехал из одного города в другой 4 ч» скрывает за собой отличную задачу на составление дробно-рационального уравнения. Несмотря на кажущуюся сложность из-за изменения скорости и времени на разных участках пути, системный подход — введение переменной, выражение всех величин через нее и аккуратное решение квадратного уравнения — позволяет легко получить верный ответ. Тренируйтесь на подобных задачах, и вы без труда справитесь с любыми текстовыми заданиями на экзаменах!