Задачи на движение — один из самых важных и интересных разделов математики․ Они не только развивают логическое мышление, но и учат составлять математические модели реальных ситуаций․ В этой статье мы подробно разберем известную задачу: «Мотоциклист ехал из одного города в другой 4 ч․ На обратном пути первые 100 км он ехал с той же скоростью, а затем уменьшил её на 10 км/ч и поэтому на обратный путь затратил на 30 мин больше»․

Условие задачи и исходные данные

Давайте выделим главную информацию из условия и переведем её на язык математики:

• Время пути туда (из города А в город Б): 4 часа․
• Скорость на пути туда: обозначим её как v км/ч․
• Расстояние между городами: S = 4v (так как S = v * t)․
• Обратный путь состоит из двух частей:
  • Первые 100 км, скорость та же, то есть v км/ч․
  • Оставшийся путь — скорость уменьшена на 10 км/ч, то есть (v ⏤ 10) км/ч․
• Разница во времени: на обратный путь затрачено на 30 минут больше, чем на прямой путь․ В часах это 0,5 ч․

Составление математической модели (уравнения)

Чтобы найти неизвестную скорость, нам нужно приравнять время, затраченное на обратный путь, к времени прямого пути плюс 30 минут․

Время на обратный путь складывается из времени на первом участке и времени на втором участке․ Используем базовую формулу: t = S / v․

1. Время прохождения первых 100 км: 100 / v
2. Длина второго участка пути: это все расстояние S минус первые 100 км․ То есть (4v ー 100) км․
3. Время прохождения второго участка: (4v ー 100) / (v ー 10)

Теперь составим уравнение, учитывая, что общее время обратного пути на 0,5 часа больше времени прямого пути (которое равно 4 часам):

100 / v + (4v ー 100) / (v ⏤ 10) = 4 + 0,5

Пошаговое решение уравнения

Упростим правую часть: 4 + 0,5 = 4,5․ Теперь наше уравнение выглядит так:

100 / v + (4v ⏤ 100) / (v ー 10) = 4,5

Избавимся от дробей․ Для этого умножим обе части уравнения на общий знаменатель: 2v(v ⏤ 10)․ Почему именно на 2v(v ー 10)? Чтобы избавиться от десятичной дроби 4,5, мы можем представить её как 9/2, тогда общий знаменатель станет 2v(v ー 10)․

Умножаем каждый член:

• 100 / v * 2v(v ー 10) = 200(v ー 10)
• (4v ー 100) / (v ⏤ 10) * 2v(v ⏤ 10) = 2v(4v ー 100) = 8v² ー 200v
• 4,5 * 2v(v ⏤ 10) = 9v(v ⏤ 10) = 9v² ⏤ 90v

Собираем всё в одно уравнение:

200v ー 2000 + 8v² ⏤ 200v = 9v² ⏤ 90v

Сокращаем 200v и -200v, переносим всё в правую часть:

0 = 9v² ⏤ 90v ⏤ 8v² + 2000

v² ー 90v + 2000 = 0

Решение квадратного уравнения

Мы получили приведенное квадратное уравнение․ Найдем его корни с помощью теоремы Виета или через дискриминант:

v² ー 90v + 2000 = 0

По теореме Виета подбираем корни: числа должны в сумме давать 90, а в произведении 2000․ Этому условию удовлетворяют числа 40 и 50․

v₁ = 40, v₂ = 50

Анализ корней и выбор ответа

Математика дала нам два варианта скорости, но мы должны проверить их на логичность (так называемый критерий здравого смысла):

• Если v = 40 км/ч, то на обратном пути, после первых 100 км, мотоциклист уменьшил скорость на 10 км/ч, и она стала бы 40 ⏤ 10 = 30 км/ч․ Это вполне реальная скорость для мотоциклиста․
• Если v = 50 км/ч, то на втором участке обратного пути его скорость стала бы 50 ー 10 = 40 км/ч․ Это тоже реальная скорость․

Однако, если мы подставим v = 40 в уравнение времени, то увидим, что при v = 40 км/ч расстояние между городами S = 4 * 40 = 160 км․ Тогда второй участок обратного пути равен 160 ー 100 = 60 км․ Время на обратный путь: 100/40 + 60/30 = 2,5 + 2 = 4,5 часа․ Прямой путь занял 4 часа․ Разница 0,5 часа․ Условие выполняется!

Что же происходит при v = 50 км/ч? Расстояние S = 4 * 50 = 200 км․ Второй участок: 200 ⏤ 100 = 100 км․ Время на обратный путь: 100/50 + 100/40 = 2 + 2,5 = 4,5 часа․ Разница также 0,5 часа!

Оба корня математически верны, но в сборниках (например, в задачниках Макарычева для 8 класса) традиционно выбирается больший корень, так как обычно в таких задачах предполагается достаточно высокая скорость движения мотоциклиста․ Поэтому наиболее частый ответ в ГДЗ: 50 км/ч․

Ответ и расчет расстояния

Итак, искомая скорость мотоциклиста на пути туда составляет 50 км/ч․

Теперь мы можем легко найти расстояние между городами:

S = v * t = 50 км/ч * 4 ч = 200 км

Разобранная задача — отличный пример того, как текстовое условие превращается в квадратное уравнение․ Главное в таких задачах — правильно определить все участки пути, записать для каждого из них формулу времени и грамотно составить уравнение, обратив особое внимание на то, что время на обратном пути больше․ Тренировка на подобных разноуровневых задачах на движение позволяет легко освоить формулы S = v * t, v = S / t, t = S / v и успешно применять их на контрольных и экзаменах․