В этой статье мы подробно разберём типовую задачу, часто встречающуюся в ОГЭ/ЕГЭ по математике:
Условие
В полдень от пристани отошел пароход со скоростью 16 км/ч. Через 3 часа от той же пристани в том же направлении отошел второй пароход. Через 12 часов после выхода первого парохода они встретились. Найдите расстояние от пристани до места встречи.
Задача может быть сформулирована и чуть иначе (например, «через 12 часов после выхода первого парохода второй догнал его»), но смысл остаётся тем же – требуется определить, как далеко от начала пути находятся оба судна в момент их встречи.
Что нужно знать
- Связь между скоростью (v), временем (t) и пройденным расстоянием (s) задаётся формулой s = v·t.
- Если два объекта движутся в одном направлении, то относительная скорость равна разности их скоростей.
- Если объекты движутся навстречу друг другу, относительная скорость – сумма их скоростей.
Пошаговое решение
Обозначим неизвестные
Пусть:
- v₁ = 16 км/ч – скорость первого парохода (известно).
- v₂ – скорость второго парохода (неизвестна).
- t₁ = 12 ч – время, прошедшее с момента выхода первого парохода до их встречи.
- t₂ = 12 ч − 3 ч = 9 ч – время, прошедшее с момента выхода второго парохода до встречи (он вышел на 3 ч позже).
Запишем пройденные пути
Первый пароход за 12 ч прошёл:
s₁ = v₁·t₁ = 16 км/ч · 12 ч = 192 км.
Второй пароход за 9 ч прошёл:
s₂ = v₂·t₂ = v₂·9 ч.
Условие встречи
Оба парохода находятся в одной точке, следовательно их пройденные расстояния от одной и той же пристани одинаковы:
s₁ = s₂.
Подставляем известные величины:
192 = 9·v₂ → v₂ = 192 / 9 = 21 ⅓ км/ч ≈ 21,33 км/ч.
Проверка
За 9 ч при скорости 21,33 км/ч второй пароход проходит:
s₂ = 21,33·9 ≈ 192 км,
что совпадает с расстоянием, пройденным первым пароходом. Условие выполнено.
Ответ
Расстояние от пристани до места встречи равно 192 км.
Обобщённый подход к похожим задачам
Если в условии указаны другие цифры (время задержки, скорости, время до встречи), алгоритм остаётся тем же:
- Записать известные скорости и времена.
- Ввести переменную для неизвестной скорости (или расстояния).
- Составить уравнение, исходя из того, что оба судна находятся в одной точке в момент встречи.
- Решить уравнение.
- Подставить найденные значения в формулу s = v·t, чтобы получить искомое расстояние.
Типичные ошибки учеников
- Путать время задержки. Необходимо помнить, что второй пароход стартует позже, поэтому его время движения равно общее время до встречи минус задержка.
- Считать относительную скорость как разность скоростей. Это верно только когда объекты движутся в одном направлении и требуется найти время догонки. В задаче нам нужно сравнить абсолютные пройденные пути, а не относительное сближение.
- Забывать единицы измерения. Скорости – в км/ч, время – в часах, расстояние – в километрах. При работе с дробными числами удобно переводить их в десятичный вид.
Вариации задачи
Для закрепления материала полезно решать задачи с небольшими изменениями:
- Скорость первого парохода известна, а скорость второго требуется найти (как в нашем примере).
- Известны обе скорости, а требуется найти время встречи.
- Задано расстояние между пристанями, а нужно определить, через сколько времени второй пароход догонит первый.
- В задачу вводится течение реки: v₁ = v₀ + v_течения, v₂ = v₀ ⎻ v_течения. Тогда надо учитывать направление течения.
Пример задачи с течением
Условие. В полдень от пристани вышел пароход со скоростью относительно воды 16 км/ч. Течение реки течёт со скоростью 4 км/ч вниз по течению. Через 3 часа от той же пристани в том же направлении вышел второй пароход, скорость которого относительно воды на 2 км/ч больше первой. Через сколько часов после выхода первого парохода они встретятся?
Решение проводится аналогично, только реальная скорость каждого судна = скорость относительно воды ± скорость течения. Это отличная тренировка для ОГЭ/ЕГЭ.
Задача «В полдень от пристани отошел пароход со скоростью 16 км/ч через 3…» – классический пример применения формулы s = v·t и умения правильно учитывать разницу во времени старта двух объектов. Следуя простому пошаговому алгоритму, можно быстро находить как неизвестные скорости, так и расстояния и времена встречи.
Регулярно решая такие задачи, вы отработаете навыки:
- Постановки уравнений;
- Работы с дробными и десятичными числами;
- Проверки полученного ответа.
Удачной подготовки к экзаменам!