Задачи на движение по реке — классический раздел математики, с которым сталкиваются школьники при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ. Одной из самых интересных и распространенных является задача, начинающаяся со слов: «Пристани А и В расположены на реке, скорость течения которой на этом участке равна 4 км/ч…». В этой статье мы подробно разберем методику решения таких задач, выясним главные подводные камни и научимся правильно находить собственную скорость лодки.
Условие задачи
Итак, классическая формулировка звучит так:
Пристань А и пристань В расположены на реке, скорость течения которой на этом участке равна 4 км/ч. Лодка проходит расстояние от А до В и обратно без остановок со средней скоростью 6 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.
Теория: что нужно знать перед решением
Прежде чем переходить к уравнениям, необходимо четко усвоить три ключевых понятия:
- Собственная скорость лодки (v) — это скорость лодки в стоячей воде (например, на озере).
- Скорость по течению (v + u) — когда лодка плывет по направлению течения, вода ей «помогает», поэтому скорости складываются.
- Скорость против течения (v ‒ u), когда лодка плывет навстречу течению, вода ей «мешает», скорости вычитаются.
В нашей задаче скорость течения (u) равна 4 км/ч. Значит:
- Скорость по течению: v + 4 км/ч
- Скорость против течения: v ― 4 км/ч
Главный подвох: что такое средняя скорость?
Многие допускают фатальную ошибку, пытаясь найти среднюю скорость как среднее арифметическое скоростей «туда» и «обратно»; Это неверно! Средняя скорость на всем пути вычисляется по формуле:
V(ср) = Общий путь / Общее время
Поскольку лодка проходит путь от А до В и возвращается обратно, общий путь равен 2S, где S — расстояние между пристанями.
Пошаговое решение задачи
Давайте решим задачу шаг за шагом, используя известные нам данные: V(ср) = 6 км/ч, u = 4 км/ч.
Шаг 1. Выражаем время в пути
Пусть S — расстояние от пристани А до пристани В.
- Время движения по течению (от А к В): t1 = S / (v + 4)
- Время движения против течения (от В к А): t2 = S / (v ― 4)
Общее время, затраченное на всю поездку туда и обратно:
t = t1 + t2 = S / (v + 4) + S / (v ‒ 4)
Шаг 2. Составляем уравнение для средней скорости
Как мы уже выяснили, средняя скорость — это общий путь, деленный на общее время:
6 = 2S / ( S/(v+4) + S/(v-4) )
Шаг 3. Упрощаем уравнение
Замечаем, что расстояние S присутствует в каждом слагаемом и его можно сократить (S > 0):
6 = 2 / ( 1/(v+4) + 1/(v-4) )
Приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю (v+4)(v-4):
1/(v+4) + 1/(v-4) = (v ― 4 + v + 4) / (v+4)(v-4) = 2v / (v² ― 16)
Теперь подставим это обратно в уравнение средней скорости:
6 = 2 / ( 2v / (v² ‒ 16) )
Двойки сокращаются:
6 = (v² ‒ 16) / v
Шаг 4. Решаем полученное квадратное уравнение
Умножим обе части на v (v ≠ 0):
6v = v² ― 16
Перенесем все в одну сторону:
v² ‒ 6v ― 16 = 0
Найдем дискриминант:
D = (-6)² ‒ 4 * 1 * (-16) = 36 + 64 = 100
Корень из дискриминанта равен 10. Находим корни:
v1 = (6 + 10) / 2 = 8
v2 = (6 ― 10) / 2 = -2
Шаг 5. Анализируем ответ
Мы получили два корня: 8 и -2. Однако скорость лодки в стоячей воде не может быть отрицательной. Кроме того, собственная скорость лодки должна быть больше скорости течения (иначе лодка не сможет плыть против течения: v ‒ 4 > 0, значит v > 4).
Следовательно, второй корень не подходит по смыслу задачи.
Ответ и проверка
Ответ: собственная скорость лодки равна 8 км/ч.
Давайте сделаем проверку, чтобы убедиться в правильности. Пусть расстояние между пристанями А и В равно 24 км (число, кратное скоростям, для удобства).
- Скорость по течению: 8 + 4 = 12 км/ч. Время в пути: 24 / 12 = 2 часа.
- Скорость против течения: 8 ‒ 4 = 4 км/ч. Время в пути: 24 / 4 = 6 часов.
- Общий путь: 24 + 24 = 48 км.
- Общее время: 2 + 6 = 8 часов.
- Средняя скорость: 48 / 8 = 6 км/ч.
Результат идеально совпадает с условием задачи!
Почему нельзя использовать среднее арифметическое?
В интернете можно встретить ошибочные рассуждения, когда люди пытаются найти скорость лодки по формуле среднего арифметического: (V1 + V2) / 2 = V(ср). В некоторых простых задачах это может дать верный результат случайно, но физически это неверно.
Среднее арифметическое скоростей по течению и против течения всегда будет равно собственной скорости лодки, а не средней скорости на маршруте! Действительно:
((v + 4) + (v ‒ 4)) / 2 = 2v / 2 = v
Лодка проводит больше времени в состоянии с меньшей скоростью (против течения), поэтому средняя скорость на всем пути всегда смещена в сторону меньшей скорости и меньше собственной скорости лодки (в нашем случае 6 < 8).
Задачи, где пристани А и В расположены на реке, требуют внимательного отношения к понятию средней скорости. Главное правило — никогда не складывать и делить пополам скорости «туда» и «обратно». Всегда используйте фундаментальную формулу: Средняя скорость = Весь путь / Все время. При таком подходе даже самые запутанные задачи на движение по воде будут решаться легко и безошибочно.