Задачи на движение по воде традиционно вызывают трудности у школьников и абитуриентов при сдаче ОГЭ и ЕГЭ. Однако при правильном подходе и понимании базовых принципов они решаются достаточно легко. В этой статье мы подробно разберем популярную задачу‚ связанную с катером береговой охраны‚ и научимся составлять уравнения на основе условий.
Основные правила решения задач на движение по реке
Прежде чем переходить к конкретной задаче‚ вспомним главные формулы и правила. При решении любых задач на движение ключевыми величинами являются:
- Расстояние (S) — пройденный путь.
- Скорость (V) — скорость объекта.
- Время (t) — затраченное на путь время.
Основной закон движения выражается формулой: S = V * t. Из нее легко выразить остальные величины: V = S / t и t = S / V.
Движение по течению и против течения
Главное отличие движения по воде от движения по суше — наличие течения реки‚ которое либо помогает движению‚ либо препятствует ему. Поэтому важно запомнить два правила:
- Скорость по течению реки равна сумме собственной скорости объекта (в стоячей воде) и скорости течения: Vпо теч = Vсоб + Vтеч
- Скорость против течения реки равна разности собственной скорости объекта и скорости течения: Vпр теч = Vсоб ⎼ Vтеч
Разбор задачи: катер береговой охраны и путь длиной 396 км
Опираясь на данные из открытых банков заданий ФИПИ и образовательных порталов‚ сформулируем классическую задачу‚ фрагмент которой упоминается в теме:
Скорость катера береговой охраны в стоячей воде равна 20 км/ч. Путь длиной 396 км по течению реки он проплывает на 4 часа быстрее‚ чем против течения реки. Найдите скорость течения реки.
Шаг 1: Составление математической модели
Для решения удобнее всего составить таблицу. Пусть x — скорость течения реки (в км/ч). Это наша неизвестная величина‚ которую нужно найти.
Тогда:
- Скорость катера по течению: (20 + x) км/ч
- Скорость катера против течения: (20 ー x) км/ч
Расстояние в обе стороны одинаковое и равно 396 км. Выразим время‚ затраченное на каждый из участков:
- Время по течению: 396 / (20 + x) часов
- Время против течения: 396 / (20 ⎼ x) часов
Шаг 2: Составление уравнения
По условию задачи путь по течению занял на 4 часа меньше (то есть быстрее)‚ чем путь против течения. Значит‚ если из большего времени вычесть меньшее‚ разница составит 4 часа:
396 / (20 ー x) ー 396 / (20 + x) = 4
Шаг 3: Решение уравнения
Решим полученное уравнение. Для начала разделим обе части на 4‚ чтобы упростить вычисления:
99 / (20 ー x) ー 99 / (20 + x) = 1
Приведем левую часть к общему знаменателю (20 ー x)(20 + x):
[99 * (20 + x) ⎼ 99 * (20 ⎼ x)] / (400 ー x^2) = 1
Раскроем скобки в числителе:
(1980 + 99x ー 1980 + 99x) / (400 ー x^2) = 1
198x / (400 ー x^2) = 1
По свойству пропорции:
198x = 400 ー x^2
Перенесем все в одну сторону‚ чтобы получить квадратное уравнение:
x^2 + 198x ー 400 = 0
Шаг 4: Нахождение корней и отбор решения
Найдем дискриминант:
D = 198^2 ⎼ 4 * 1 * (-400) = 39204 + 1600 = 40804
Корень из 40804 равен 202 (так как 202^2 = 40804).
Найдем корни уравнения:
x1 = (-198 + 202) / 2 = 4 / 2 = 2
x2 = (-198 ⎼ 202) / 2 = -400 / 2 = -200
Важно помнить: скорость течения реки не может быть отрицательной величиной‚ поэтому корень x = -200 не подходит по смыслу задачи (так называемый посторонний корень).
Ответ: скорость течения реки равна 2 км/ч.
Альтернативная формулировка задачи
В базах заданий (например‚ на ЕГЭ профильного уровня) встречается и обратная формулировка этой же задачи:
Катер береговой охраны патрулирует участок реки длиной 396 км. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Найдите скорость катера в стоячей воде (в км/ч)‚ если против течения катер проплывает патрулируемый участок на 4 часа медленнее‚ чем по течению.
В этом случае логика решения остается точно такой же. Обозначаем собственную скорость катера за v‚ составляем те же дроби для времени (396 / (v + 2) и 396 / (v ー 2)) и решаем аналогичное уравнение. В результате получится квадратное уравнение v^2 ⎼ 198v ー 4 = 0‚ положительный корень которого даст то же самое значение, 20 км/ч.
Полезные советы для успешного решения
- Всегда рисуйте таблицу. Это структурирует данные и помогает не запутаться‚ где какое расстояние‚ скорость и время.
- Следите за единицами измерения. Если время дано в часах и минутах (например‚ стоянка 1 час 20 минут)‚ обязательно переводите его в десятичную дробь (1 целая 1/3 часа или 4/3 часа).
- Анализируйте ответ. Скорость не может быть отрицательной. Кроме того‚ скорость катера против течения не может быть меньше нуля (иначе он будет плыть назад)‚ поэтому собственная скорость всегда должна быть больше скорости течения.
- Проверяйте себя; Подставьте полученное значение (2 км/ч) в исходное условие: по течению катер плывет со скоростью 22 км/ч (396/22 = 18 часов)‚ а против течения — 18 км/ч (396/18 = 22 часа). Разница во времени: 22 ⎼ 18 = 4 часа. Условие сходится идеально!
Задачи на движение по воде требуют внимательности и аккуратности при составлении уравнений. Практикуйтесь на различных вариантах‚ и вы обязательно научитесь решать их без ошибок!