Задачи на движение, один из самых частых и важных типов текстовых заданий, которые встречаются как на ОГЭ, так и на ЕГЭ по математике. Среди них особое место занимают задачи на движение по воде, требующие внимательности при работе со временем, скоростями и расстояниями. В этой статье мы подробно разберем классическую задачу, которая часто вызывает затруднения у учеников: «От одной пристани отплыл в 11 часов ночи теплоход, проходивший по 15 км/ч, а от другой пристани навстречу ему в 3 часа ночи следующего утра вышел другой пароход…».

Условие задачи и её особенности

Полная формулировка этой популярной задачи звучит так:

От одной пристани отплыл в 11 часов ночи теплоход, проходивший по 15 км/ч, а от другой пристани навстречу ему в 3 часа ночи следующего утра вышел другой пароход, проходивший по 17 км/ч. Через 8 часов после отплытия второго парохода они встретились. Найдите расстояние между пристанями.

Главная сложность здесь — правильно определить время, которое каждый теплоход находился в пути, и грамотно сложить пройденные ими расстояния. Давайте разберем решение по шагам.

Пошаговое решение задачи

Шаг 1. Вычисление времени в пути первого теплохода до отправления второго

Первый теплоход отплыл в 11 часов ночи (23:00), а второй — в 3 часа ночи следующего дня (03:00). Чтобы узнать, сколько времени первый теплоход плыл один, нужно найти разницу во времени:

• С 23:00 до 00:00 (полночи) — 1 час.
• С 00:00 до 03:00 — 3 часа.

Таким образом, первый теплоход шел 4 часа до того момента, как навстречу ему вышел второй.

Шаг 2. Вычисление расстояния, пройденного первым теплоходом в одиночку

Скорость первого теплохода составляет 15 км/ч. За 4 часа он успел проплыть:

15 км/ч × 4 ч = 60 км

Именно это расстояние он покрыл до выхода второго парохода из противоположной пристани.

Шаг 3. Определение времени совместного движения навстречу друг другу

По условию задачи, после отплытия второго парохода они встретились через 8 часов. Это означает, что:

• Второй пароход находился в пути ровно 8 часов.
• Первый теплоход плыл эти 8 часов вместе со вторым, но не нужно забывать про те 4 часа, которые он плыл до этого! Всего первый теплоход был в пути: 4 ч + 8 ч = 12 часов.

Шаг 4. Вычисление расстояния, пройденного совместно до встречи

Теперь найдем, какое расстояние преодолели оба судна за эти 8 часов совместного движения. Поскольку они двигались навстречу друг другу, их скорости складываются:

• Скорость сближения = 15 км/ч + 17 км/ч = 32 км/ч.
• Расстояние, пройденное за 8 часов совместного хода = 32 км/ч × 8 ч = 256 км.

Шаг 5. Нахождение общего расстояния между пристанями

Чтобы найти всё расстояние между пристанями, нам нужно сложить путь, который первый теплоход прошел в одиночку, и тот путь, который они преодолели навстречу друг другу:

60 км + 256 км = 316 км

Альтернативный способ проверки

Можно решить задачу иначе: посчитать полный путь каждого судна и сложить их.

1. Путь первого теплохода: 15 км/ч × 12 ч (всего в пути) = 180 км.
2. Путь второго парохода: 17 км/ч × 8 ч = 136 км.
3. Общее расстояние: 180 км + 136 км = 316 км.

Результаты совпадают, что подтверждает правильность решения!

Важные правила для решения задач на движение по воде

Разобранная нами задача относится к типу движения навстречу друг другу. Однако на экзаменах (ОГЭ задание 21, ЕГЭ задание 11) гораздо чаще встречаются задачи на движение по течению и против течения. Запомните следующие базовые принципы:

• Скорость по течению равна собственной скорости объекта плюс скорость течения: V_{по теч} = V_соб + V_теч
• Скорость против течения равна собственной скорости объекта минус скорость течения: V_{пр теч} = V_соб ⏤ V_теч
• Собственная скорость (скорость в неподвижной воде) — это среднее арифметическое скоростей по течению и против течения: V_соб = (V_{по теч} + V_{пр теч}) / 2
• Скорость течения — это половина разности скоростей по течению и против течения: V_теч = (V_{по теч} ⎼ V_{пр теч}) / 2

Типичные ошибки при решении

1. Путаница с временем. Обязательно переводите время в 24-часовой формат (11 часов ночи = 23:00). Внимательно считайте, кто сколько часов плыл, особенно если один объект отправился раньше другого.
2. Игнорирование стоянок. В некоторых задачах (например, когда теплоход идет из пункта А в В и возвращается обратно) указано время стоянки. Это время не входит во время движения! Его нужно вычесть из общего времени, затраченного на весь путь.
3. Забывают сложить скорости при встречном движении. Если объекты идут навстречу, их скорости складываются. Если в одном направлении — из большей скорости вычитается меньшая.

Задачи на движение по воде требуют внимательности и четкого понимания физического процесса. Как показала наша задача про теплоходы, вышедшие в 11 часов ночи и 3 часа ночи, ключ к успеху лежит в правильном распределении времени и расстояний. Тренируйтесь, составляйте таблицы «Скорость-Время-Расстояние» (S = V × t), и вы легко справитесь с любыми текстовыми задачами на экзамене!