Задачи на движение — это классический раздел математики, который часто встречается в школьных учебниках, на экзаменах (ОГЭ и ЕГЭ) и в различных логических головоломках. Одной из типичных сюжетных линий является движение транспорта между населенными пунктами с изменением скорости. В данной статье мы подробно разберем популярную задачу, суть которой звучит так: «Таксист возвращается из деревни в город со скоростью на 25 км/ч большей, чем он ехал туда».
Условие задачи и её типология
Подобные задачи обычно формулируются следующим образом:
Таксист проехал из города в деревню с некоторой постоянной скоростью. На обратном пути таксист возвращается из деревни в город со скоростью на 25 км/ч большей, чем его скорость на пути туда. Известно, что на обратный путь он затратил на 1 час меньше (или другое заданное время). Найдите скорость таксиста на каждом участке пути, если расстояние от города до деревни составляет 150 км.
Этот тип задач относится к категории «движение по прямой с изменением скорости». Главная сложность здесь, правильно составить уравнение, опираясь на базовую формулу: время равно расстоянию, деленному на скорость.
Методика решения: шаг за шагом
- Выражение второй скорости. Поскольку возвращался он со скоростью на 25 км/ч большей, то обратная скорость равна (x + 25) км/ч.
- Выражение времени. Время в пути туда: 150 / x часов. Время в пути обратно: 150 / (x + 25) часов.
- Составление уравнения. Разница во времени известна. Если на обратный путь затрачено на 1 час меньше, то из большего времени вычитаем меньшее: 150/x ─ 150/(x+25) = 1.
- Решение уравнения. Приводим к общему знаменателю, отбрасываем его (с учетом ОДЗ: x > 0) и решаем квадратное уравнение.
Подробное математическое решение
Решим составленное уравнение:
150/x ⸺ 150/(x+25) = 1
Умножим обе части на x(x+25):
150(x+25) ⸺ 150x = x(x+25)
150x + 3750 ─ 150x = x² + 25x
3750 = x² + 25x
Перенесем все в одну сторону:
x² + 25x ⸺ 3750 = 0
Найдем дискриминант: D = 25² ⸺ 41(-3750) = 625 + 15000 = 15625. Корень из D равен 125.
Найдем корни:
- x₁ = (-25 + 125) / 2 = 50
- x₂ = (-25 ⸺ 125) / 2 = -75
Так как скорость не может быть отрицательной, нам подходит только x = 50 км/ч. Это скорость на пути в деревню. Скорость на обратном пути: 50 + 25 = 75 км/ч.
Перевод скорости в м/с
В некоторых задачах (особенно в физике) требуеться перевести результат в систему СИ. Как правильно перевести километры в час в метры в секунду?
Для этого нужно умножить значение на 1000 (перевод км в м) и разделить на 3600 (перевод часов в секунды). То есть умножить на дробь 1000/3600, которая сокращается до 5/18.
Переведем наши ответы:
- Скорость туда: 50 * (5/18) = 250/18 ≈ 13,89 м/с
- Скорость обратно: 75 * (5/18) = 375/18 ≈ 20,83 м/с
Аналогичные задачи из интернета
В сети можно найти множество похожих сюжетов. Например:
- Задача про пароход: Собственная скорость парохода равна 32,5 км/ч. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 459 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Здесь скорость по течению и против течения также различается на удвоенную скорость реки.
- Задача про автомобили: Из города A в город B со скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через час навстречу ему из города B выехал второй со скоростью 65 км/ч. Это задача на встречное движение, но принцип использования формулы пути тот же.
- Задача про Вову: В 11:30 Вова узнал, что пора возвращаться. Проехав вперёд еще 900 м, он развернулся и приехал домой в 12:20. Здесь также требуется найти скорость, учитывая время и дополнительное расстояние.
Жизненный контекст
Хотя задачи придуманы составителями, они отражают реальную жизнь. Таксисты, междугородние перевозчики и просто водители часто меняют скорость на обратном пути. Из деревни в город таксист может ехать быстрее по нескольким причинам:
- Дорожное покрытие: На трассе скорость выше, чем на разбитой проселочной дороге.
- Психологический фактор: Возвращение домой или в рабочий поток всегда кажется быстрее.
- Спешка: Желание быстрее встать в очередь на автостанции города для получения нового заказа.
Разбор задачи о таксисте, который возвращается из деревни в город со скоростью на 25 км/ч большей, отлично тренирует навыки составления математических моделей реальных ситуаций. Главное в таких задачах — внимательно прочитать условие, грамотно ввести переменные и не забывать про проверку найденных корней, отбрасывая физически бессмысленные отрицательные значения.