Текстовые задачи на прямолинейное движение — это обязательная часть школьной программы по математике и частый гость на экзаменах (ОГЭ и ЕГЭ). Одной из самых типичных и интересных задач является задача о туристе, который идет из города в село и возвращается обратно с другой скоростью. В этой статье мы подробно разберем условие: путь из города в село турист прошел со скоростью 4,8 км/ч, а на обратном пути он увеличил скорость до 6 км/ч, что позволило ему пройти это расстояние на 1 час быстрее. Наша цель, найти расстояние от города до села.
Суть задачи и базовая формула
Прежде чем переходить к решению, давайте вспомним главную формулу, которая связывает расстояние, скорость и время:
S = V × t
Где:
- S — это пройденный путь (расстояние),
- V — скорость движения,
- t — время, затраченное на путь.
Из этой формулы легко выразить время: t = S / V. Именно эта вариация формулы понадобится нам для составления уравнения, так как в задаче речь идет о разнице во времени.
Условие задачи
Давайте еще раз внимательно прочитаем условие и выделим известные данные:
- Путь из города в село турист прошел со скоростью 4,8 км/ч.
- На обратном пути (из села в город) его скорость составила 6 км/ч.
- Расстояние в обе стороны одинаковое (путь туда и обратно).
- На обратный путь турист затратил на 1 час меньше (то есть прошел расстояние на 1 час быстрее).
Требуется найти: расстояние от города до села.
Составление математической модели
Самый удобный способ решать такие задачи — составить таблицу. Обозначим искомое расстояние от города до села за x километров.
Направление пути Скорость (V), км/ч Расстояние (S), км Время (t), ч Из города в село 4,8 x x / 4,8 Из села в город (обратно) 6 x x / 6 Теперь свяжем время пути с условием задачи. Известно, что на обратный путь ушло на 1 час меньше. Значит, время пути «туда» больше времени пути «обратно» на 1 час. Составляем уравнение:
(x / 4,8) ⸺ (x / 6) = 1
Подробное решение уравнения
У нас получилось уравнение с дробями. Чтобы решить его, необходимо привести дроби к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 4,8 и 6.
Удобнее всего избавиться от десятичной дроби, умножив обе части уравнения на 10:
4,8 × 10 = 48
6 × 10 = 60
Теперь уравнение выглядит так:
(10x / 48) ⎻ (10x / 60) = 10
Найдем НОК для 48 и 60; Для этого разложим их на простые множители:
- 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 16 × 3
- 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 4 × 3 × 5
НОК(48, 60) = 16 × 3 × 5 = 240.
Приводим дроби к знаменателю 240:
- Дополнительный множитель для первой дроби: 240 / 48 = 5
- Дополнительный множитель для второй дроби: 240 / 60 = 4
Перепишем уравнение:
(50x / 240) ⎻ (40x / 240) = 10
Так как знаменатели теперь одинаковы, мы можем вычесть числители:
10x / 240 = 10
Сократим дробь 10/240:
x / 24 = 10
Осталось лишь умножить обе части на 24:
x = 10 × 24
x = 240
Альтернативный (более быстрый) способ решения
Эту же задачу можно решить гораздо быстрее, если составить уравнение немного иначе. Давайте попробуем!
Пусть t — это время, которое турист затратил на путь из города в село. Тогда расстояние можно выразить как: S = 4,8 × t.
На обратном пути он прошел то же расстояние S, но со скоростью 6 км/ч и за время (t ⎻ 1) час (так как он прошел путь на 1 час быстрее). Тогда: S = 6 × (t ⎻ 1).
Приравняем правые части, так как расстояние S одинаковое:
4,8t = 6(t ⸺ 1)
Раскроем скобки:
4,8t = 6t ⎻ 6
Перенесем неизвестные в одну сторону, а числа — в другую:
6 = 6t ⸺ 4,8t
6 = 1,2t
Найдем время t:
t = 6 / 1,2 = 5 часов
Теперь легко найдем расстояние S:
S = 4,8 км/ч × 5 ч = 24 км
Как видим, ответ получился тем же! Этот способ позволяет избежать сложных вычислений с дробями и подходит тем, кому комфортнее работать с целыми числами и скобками.
Проверка и ответ
Любую задачу на движение обязательно нужно проверять. Подставим найденное значение S = 24 км в исходное условие:
- Путь туда: 24 км / 4,8 км/ч = 5 часов.
- Путь обратно: 24 км / 6 км/ч = 4 часа.
- Разница во времени: 5 часов ⸺ 4 часа = 1 час.
Условие задачи полностью соблюдено! На обратном пути турист действительно затратил на 1 час меньше.
Ответ:
Расстояние от города до села составляет 24 километра.
Задачи на движение могут казаться сложными из-за обилия условий и дробных значений скоростей, как в нашем случае с числом 4,8. Однако, если следовать четкому алгоритму, составить таблицу, ввести переменную, выразить время через расстояние и скорость, составить уравнение и решить его — любая задача становиться по плечу. Главное — внимательно читать условие и не забывать проверять свой ответ!