Задачи на движение — это неотъемлемая часть школьной программы по математике, а также обязательный компонент государственных экзаменов (ОГЭ и ЕГЭ). Среди них особое место занимают задачи на движение по воде и задачи на погоню. Фраза «В полдень от пристани отошел теплоход через 3 часа со скоростью 16 км ч» скрывает в себе классическую сюжетную линию, которая часто вызывает затруднения у школьников. В этой статье мы подробно разберем эту задачу, научимся правильно составлять математические модели и найдем изящное решение.
Условие задачи и её скрытый смысл
Полная формулировка этой известной задачи звучит так:
В полдень от пристани отошел теплоход со скоростью 16 км/ч. Через 3 часа вслед ему отошел другой теплоход и через 12 часов после своего выхода догнал первый. С какой скоростью двигался второй теплоход?
Разбор условия
Прежде чем переходить к формулам, важно понять физический смысл происходящего:
- Первый теплоход стартует в полдень. Его скорость известна — 16 км/ч. Он движется равномерно и прямолинейно.
- Второй теплоход стартует на 3 часа позже (соответственно, в 15:00). Он движется в том же направлении, но с большей скоростью, иначе он бы никогда не догнал первый.
- Точка встречи наступает через 12 часов после выхода второго теплохода.
Как верно подмечают опытные преподаватели: «Полдень в условиях задачи — для красоты! Принципиально следующее: за 3 часа первый теплоход удалился от второго на 16 км/ч х 3 ч = 48 км». Время суток (полдень) не влияет на математическую модель, оно лишь задает стартовую точку отсчета.
Способ 1: Логический (через скорость сближения)
Это самый быстрый и изящный способ решения, который идеально подходит для учеников средней школы (4-6 классы).
Шаг 1: Находим отрыв
К моменту выхода второго теплохода первый уже находился в пути 3 часа. Умножим скорость первого на время его «форы»:
16 км/ч × 3 ч = 48 км
Именно на 48 километров первый теплоход оторвался от второго. Это и есть первоначальное расстояние между ними.
Шаг 2: Определяем время погони
Второй теплоход догнал первый через 12 часов после своего отплытия. Значит, чтобы ликвидировать отрыв в 48 км, второму теплоходу потребовалось 12 часов.
Шаг 3: Находим скорость сближения
Скорость сближения показывает, на сколько километров второй теплоход приближается к первому за каждый час. Разделим расстояние (отрыв) на время погони:
48 км : 12 ч = 4 км/ч
Это означает, что каждый час второй теплоход проплывает на 4 км больше, чем первый.
Шаг 4: Вычисляем скорость второго теплохода
Поскольку второй теплоход догоняет первого, его собственная скорость должна быть больше скорости первого на величину скорости сближения:
16 км/ч + 4 км/ч = 20 км/ч
Ответ: скорость второго теплохода равна 20 км/ч.
Способ 2: Алгебраический (через уравнение)
Для старших классов и подготовки к ОГЭ (задание №22) предпочтительнее алгебраический метод с введением переменной.
Составление таблицы и уравнения
Пусть x — скорость второго теплохода (в км/ч).
- Время в пути первого теплохода: 3 ч (до старта второго) + 12 ч (до встречи) = 15 часов.
- Время в пути второго теплохода: 12 часов.
Поскольку оба теплохода прошли одинаковое расстояние (от пристани до точки встречи), приравняем пройденные ими пути:
S₁ = S₂
16 × 15 = x × 12
Решение уравнения
Вычислим путь первого теплохода:
240 = 12x
Разделим обе части на 12:
x = 240 : 12
x = 20
Как видим, оба способа приводят нас к одному и тому же ответу: 20 км/ч. Алгебраический метод универсален и позволяет легко проверить себя.
Почему важно уметь решать такие задачи?
Задачи на движение по реке и задачи на сближение/удаление формируют у ребенка пространственное мышление и понимание взаимосвязи величин (скорость, время, расстояние). На экзаменах эти сюжеты часто усложняются:
- Добавляется скорость течения реки. Если бы в нашей задаче теплоходы шли по течению, их скорости нужно было бы складывать со скоростью течения, а если против — вычитать.
- Изменяются условия старта (например, «Из пункта А в пункт В вышел первый, а навстречу ему из пункта В вышел второй…»).
- Вводятся остановки в пути (как в задаче про пароход, который простоял у пристани 1 час).
Классическая задача про теплоход, отошедший в полдень, — это прекрасный тренажер для отработки навыков решения текстовых задач. Главное правило здесь — внимательно читать условие, выделять ключевые величины и понимать, кто кого догоняет. Помните: расстояние = скорость × время, а в задачах на погоню решающую роль играет скорость сближения. Практикуйтесь, и даже самые сложные задачи ОГЭ покажутся вам увлекательной головоломкой!