Задачи на движение – одни из самых популярных в школьной математике. Они позволяют отработать навыки работы с формулами скорость – время – расстояние и развивают логическое мышление. В этой статье мы подробно разберём типичный пример:

Постановка задачи

Условие. Из села в направлении станции вышел пешеход со скоростью 4 км/ч. Через один час после его выхода из того же села в том же направлении выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч; Через сколько часов после выезда велосипедиста он догонит пешехода?

Что нужно найти?

Нужно определить момент времени t (в часах)‚ прошедший с момента выезда велосипедиста‚ когда расстояние‚ пройденное им‚ станет равно расстоянию‚ пройденному пешеходом.

Анализ задачи

• Пешеход начал движение раньше‚ поэтому к моменту старта велосипедиста он уже прошёл определённый путь.
• Скорости обоих участников известны и постоянны.
• Задача сводится к поиску времени‚ когда разница пройденных расстояний станет нулевой.

Запишем известные данные

Построим уравнение движения

Пусть t – время (в часах)‚ прошедшее с момента выезда велосипедиста. Тогда:

• Расстояние‚ пройденное пешеходом за t + Δt часов:

  S₁ = v₁·(t + Δt) = 4·(t + 1)

• Расстояние‚ пройденное велосипедистом за t часов:

  S₂ = v₂·t = 10·t

Догоняется‚ когда S₁ = S₂. Получаем уравнение:

4·(t + 1) = 10·t

Решаем уравнение

1. Раскроем скобки: 4t + 4 = 10t.
2. Перенесём все члены с t в одну сторону:

   10t − 4t = 4 → 6t = 4.

3. Найдём t:

   t = 4⁄6 = 2⁄3 ч.

Итак‚ велосипедист догонит пешехода через 2⁄3 часа после своего выезда. В минутах это:

2⁄3 ч × 60 мин/ч = 40 мин;

Ответ

Велосипедист догонит пешехода через 40 минут после того‚ как выехал из села.

Общий метод решения подобных задач

Для любой задачи «кто‑то догоняет кого‑то» следуйте следующему алгоритму:

1. Определите‚ кто стартует позже. Запишите время отставания (Δt).
2. Запишите формулы расстояний. Для каждого участника: S = v·t‚ где t – время с момента его старта.
3. Составьте уравнение равенства пройденных расстояний. Учтите‚ что у «позднего» участника время будет t‚ а у «раннего» – t + Δt.
4. Решите линейное уравнение. Получите t в часах‚ при необходимости переведите в минуты.
5. Проверьте результат. Подставьте найденное t обратно в формулы‚ убедитесь‚ что расстояния действительно совпадают.

Вариации задачи

В учебных пособиях встречаются несколько вариантов этой же схемы:

• Пешеход и велосипедист движутся в противоположных направлениях. Тогда расстояния складываются: S₁ + S₂ = D‚ где D – начальное расстояние между ними.
• Задано расстояние до станции‚ а нужно узнать‚ кто прибудет первым.
• В задаче присутствует пауза (например‚ велосипедист останавливается на 15 минут). В этом случае к времени движения добавляется пауза.

Типичные ошибки учеников

1. Не учитывают отставание. Часто берут одинаковое время t для обоих участников‚ забывая‚ что один стартовал позже.
2. Смешивают единицы измерения. Если скорость дана в км/ч‚ а время – в минутах‚ необходимо привести их к одной системе.
3. Неправильно раскрывают скобки. При решении уравнения важно аккуратно выполнять арифметические операции.
4. Забывают проверить ответ. Подстановка найденного t в исходные формулы помогает убедиться в корректности решения.

Практика: ещё несколько задач

Попробуйте решить самостоятельно‚ используя описанный алгоритм.

1. Из села в сторону станции вышел пешеход со скоростью 3 км/ч. Через 2 ч к нему выехал мотоциклист со скоростью 15 км/ч. Через сколько часов мотоциклист догонит пешехода?
2. Пешеход идёт со скоростью 5 км/ч‚ а велосипедист‚ стартовавший на 30 минут позже‚ едет со скоростью 12 км/ч. Сколько времени понадобится велосипедисту‚ чтобы обогнать пешехода?
3. Из пункта А в пункт Б (расстояние 24 км) одновременно выехали два велосипедиста: первый со скоростью 8 км/ч‚ второй – со скоростью 12 км/ч. На каком расстоянии от А встретятся они?

Задачи о догоне – отличный способ закрепить базовые формулы движения и научиться правильно составлять уравнения. Главное помнить о двух ключевых моментах:

• Учёт разницы во времени старта.
• Точное применение формулы S = v·t для каждого участника.

Следуя простому алгоритму‚ вы сможете быстро и без ошибок решать любые задачи подобного типа.

Дата генерации статьи: 28 мая 2026 г.