В этой статье мы разберём типичную задачу из раздела «Прямолинейное движение», в которой требуется найти неизвестные параметры (расстояние, время, скорость) при условии, что скорость обратного пути на 25 км/ч больше скорости прямого пути. Мы подробно объясним, какие формулы использовать, как составлять уравнения и какие типичные ошибки допускают ученики.
Теоретическая часть
Основные формулы движения
- Скорость — отношение пройденного пути к затраченному времени:
v = s / t, где v – скорость (км/ч), s – путь (км), t – время (ч). - Если известны два из трёх параметров, третий находится простым преобразованием:
- Если известны s и v, то t = s / v;
- Если известны s и t, то v = s / t;
- Если известны v и t, то s = v·t.
Как записывать условие «скорость на 25 км/ч больше»
Пусть v₁ – скорость такси, когда он едет из города в деревню. Тогда скорость обратного пути будет
v₂ = v₁ + 25 (км/ч).
Система уравнений
Если известны, например, время в пути в одну из сторон, то получаем две формулы:
s = v₁·t₁ (из города в деревню) s = v₂·t₂ = (v₁+25)·t₂ (из деревни в город)
Отсюда можно выразить неизвестные v₁, t₁, t₂ или s в зависимости от того, какие данные даны в условии.
Пример задачи и её решение
Условие
Таксист проехал из города в деревню за 2 ч. На обратном пути он ехал со скоростью на 25 км/ч большей, чем в путь туда, и добрался в город за 1,5 ч. Найдите расстояние между городом и деревней.
Решение шаг за шагом
- Обозначим неизвестные. Пусть v₁ – скорость туда (км/ч), v₂ = v₁+25 – скорость обратно, s – расстояние (км).
- Запишем формулы пути.
s = v₁·t₁ = v₁·2 s = v₂·t₂ = (v₁+25)·1,5
- Приравняем правые части (поскольку путь одинаковый):
v₁·2 = (v₁+25)·1,5
- Решим полученное линейное уравнение.
2v₁ = 1,5v₁ + 37,5 2v₁ – 1,5v₁ = 37,5 0,5v₁ = 37,5 v₁ = 37,5 / 0,5 = 75 (км/ч)
Значит, скорость туда — 75 км/ч, а скорость обратно — 75+25 = 100 км/ч.
- Найдём расстояние.
s = v₁·t₁ = 75·2 = 150 км
Проверка: обратный путь: 150 км / 100 км/ч = 1,5 ч – совпадает с условием.
Ответ
Расстояние между городом и деревней равно 150 км. Скорость туда — 75 км/ч, скорость обратно — 100 км/ч.
Как решать похожие задачи
Шаги решения (универсальный алгоритм)
- Внимательно прочитайте условие и выпишите все известные данные.
- Обозначьте неизвестные величины (обычно это v₁, v₂, s, t₁, t₂).
- Запишите формулы пути для каждой части маршрута: s = v·t.
- Если в условии указано, что одна скорость больше другой, выразите её через переменную (v₂ = v₁ + 25).
- Приравняйте полученные выражения для одинакового пути (или для одинакового времени, если условие о времени).
- Решите полученную систему уравнений (обычно линейную).
- Подставьте найденные значения в любую из формул, чтобы получить оставшиеся параметры.
- Проверьте решение, подставив найденные числа обратно в условие.
Типичные варианты
- Задан путь, неизвестны скорости. Пример: «Тракторист проехал 180 км туда со скоростью v, а обратно со скоростью v+25. Время в обе стороны вместе — 5 ч. Найдите v и путь».
- Задан один из времён, неизвестен путь. Пример: «Время туда — 2 ч, время обратно — 1,5 ч, разница скоростей — 25 км/ч». Сначала найдём скорости, затем путь.
- Есть дополнительные остановки. Если в задаче указаны паузы, их время прибавляется к общему времени, но не влияет на формулу s = v·t (т.к. путь в этот момент не меняется).
Частые ошибки учеников
- Путать, что «на 25 км/ч больше» относится к скорости, а не к времени. Важно помнить, что «на 25 км/ч больше» – это прибавка к v, а не к t.
- Не учитывать, что путь в обе стороны одинаковый. Приравнивание s в двух формулах – ключевой момент.
- Смешивать единицы измерения. Если время дано в минутах, его нужно перевести в часы, иначе получим неверный результат.
- Забывать проверку. Подстановка найденных чисел в исходные условия часто выявляет арифметическую ошибку.
Практические задания
Задание 1
Таксист едет из города в деревню со скоростью v км/ч, а обратно – со скоростью v+25 км/ч. Если весь путь туда‑обратно занимает 4 ч, а время в одну сторону равно 2,2 ч, найдите v и расстояние между пунктами.
Задание 2
Время в пути из деревни в город составляет 1 ч 30 мин. На обратном пути таксист ехал на 25 км/ч быстрее и добрался в город за 1 ч 10 мин. Какое расстояние между пунктами?
Задание 3 (с остановкой)
Таксист проехал из города в деревню за 2 ч, затем сделал остановку на 30 мин. Обратно он ехал со скоростью на 25 км/ч больше и добрался в город за 1 ч 45 мин. Найдите расстояние и скорости в обе стороны.
Решения к этим заданиям можно выполнить, следуя алгоритму из раздела 3.1.
Задачи, в которых одна скорость отличается от другой на фиксированную величину (в нашем случае — 25 км/ч), являются отличным способом закрепить навыки работы с формулами движения и уравнениями первой степени. Главное – правильно обозначить переменные, записать формулы пути и не забыть, что путь туда и обратно одинаковый. При соблюдении этих простых правил любые подобные задачи решаются быстро и без ошибок.