В школьных учебниках по физике и математике часто встречается типичная задача о движении судна по реке. Она позволяет отработать навыки работы с относительными скоростями, уравнениями движения и простыми алгебраическими преобразованиями.
Содержание статьи
- Формулировка задачи
- Физическая модель и обозначения
- Запись уравнений
- Пошаговое решение
- Вариации задачи и дополнительные примеры
- Типичные ошибки учеников
- Самостоятельные упражнения
Формулировка задачи
Условие. Расстояние между двумя пристанями А и В вдоль реки равно 48 км. Судно (плот, моторная лодка, пароход) отправилось из А и проплыло до В по течению реки за 3 ч. Требуется определить:
- Скорость течения реки vт (км/ч);
- Собственную скорость судна в стоячей воде vс (км/ч).
Для однозначного определения обеих скоростей в условии обычно указывается ещё один параметр – время пути против течения или разница во времени между двумя суднами. В нашем случае будем рассматривать два типичных случая:
- Случай A – известна только скорость судна по течению (заданная в условии).
- Случай B – дополнительно известен путь обратно (против течения) или время задержки другого судна.
Физическая модель и обозначения
Пусть:
- S = 48 км – расстояние между пристанями;
- tд = 3 ч – время движения по течению;
- vт – скорость течения реки (положительная, если она направлена от А к В);
- vс – собственная (моторная) скорость судна в неподвижной воде;
- vд = vс + vт – скорость судна по течению;
- vу = vс ― vт – скорость судна против течения (если она положительна, судно может двигаться вверх по реке).
Запись уравнений
Для движения по течению справедливо простое соотношение:
S = vд·tд
Подставляя выражение для vд получаем:
48 = (vс + vт)·3
Отсюда:
vс + vт = 48 / 3 = 16 км/ч
Это единственное уравнение, получаемое из условия «по течению за 3 ч». Чтобы найти обе неизвестные, нам нужно ещё одно уравнение. Ниже рассматриваются два типичных способа его получения.
Пошаговое решение
Случай A – известна только скорость по течению
Если в условии дополнительно указано, что собственная скорость судна известна (например, vс = 12 км/ч), то сразу получаем:
vт = 16 ― vс = 16 ― 12 = 4 км/ч
Ответ:
- Скорость течения vт = 4 км/ч;
- Собственная скорость судна vс = 12 км/ч (задана).
Случай B – известен путь обратно (против течения)
Часто в задачах добавляют информацию о времени обратного пути. Предположим, что судно сразу после прибытия в пункт В развернулось и вернулось в А за tу = 5 ч. Тогда получаем второе уравнение:
S = vу·tу = (vс ー vт)·5
Отсюда:
vс ― vт = 48 / 5 = 9.6 км/ч
Теперь у нас система двух линейных уравнений:
| Уравнение | Вид |
|---|---|
| 1 | vс + vт = 16 |
| 2 | vс ー vт = 9.6 |
Складываем их:
2·vс = 16 + 9.6 = 25.6 ⇒ vс = 12.8 км/ч
Вычитаем второе из первого:
2·vт = 16 ― 9.6 = 6.4 ⇒ vт = 3.2 км/ч
Ответ:
- Собственная скорость судна vс = 12.8 км/ч;
- Скорость течения реки vт = 3.2 км/ч.
Общий алгоритм решения
- Записать формулу расстояния S = v·t для каждого известного отрезка пути (по течению и/или против течения).
- Выразить скорости по течению и против течения через vс и vт.
- Составить систему линейных уравнений.
- Решить систему (сложением/вычитанием или методом подстановки).
- Проверить полученные значения, подставив их обратно в исходные уравнения.
Вариации задачи и дополнительные примеры
Плот и моторная лодка
Часто в условии фигурируют два судна: плот, движущийся только под действием течения, и моторная лодка, имеющая собственную скорость. Пример:
- Плот стартует из А в 9:00 и движется только с скоростью течения vт.
- Через 1 ч лодка с собственной скоростью vс начинает движение из того же пункта.
- Лодка достигает В и сразу же возвращается в А. К этому моменту плот прошёл 50 км.
Для такой задачи получаем три уравнения:
- Плот: vт·tп = 50 (где tп – время, прошедшее с 9:00 до момента встречи).
- Лодка туда: (vс + vт)·tд = 48.
- Лодка обратно: (vс ー vт)·tу = 48.
С учётом того, что tд + tу = tп ― 1 (потому что лодка стартовала через час), система решается аналогично предыдущему примеру.
Задача с неизвестным временем
Если известно лишь, что судно прошёл путь 48 км за 3 ч, а также известна собственная скорость (например, vс = 14 км/ч), то:
vт = 16 ー 14 = 2 км/ч
И наоборот, если известна только скорость течения (например, vт = 5 км/ч), то:
vс = 16 ― 5 = 11 км/ч
Типичные ошибки учеников
- Путать направление скорости. Скорость по течению – это vс + vт, а против – vс ー vт. Часто ставят знак «–» в обоих случаях.
- Не учитывать единицы измерения. Если время дано в минутах, его нужно перевести в часы, иначе получим неверный результат.
- Считать, что «течение» – это отдельный объект, а не часть скорости судна. Течение всегда добавляется (или вычитается) к собственной скорости.
- Потеря знака при вычитании. При решении системы важно правильно выполнять операции сложения и вычитания.
- Отсутствие проверки. После нахождения vс и vт подставьте их обратно в исходные формулы, чтобы убедиться, что полученные времена совпадают с условием.
Самостоятельные упражнения
- Расстояние между пристанями 60 км. Судно прошло путь по течению за 4 ч, а обратно – за 6 ч. Найдите vс и vт.
- Плот движется только по течению со скоростью 3 км/ч. Моторная лодка с собственной скоростью 10 км/ч стартует через 30 минут после плота. Через сколько часов после старта лодка догонит плот, если расстояние между пристанями 48 км?
- Скорость течения реки 2,5 км/ч. Какую собственную скорость должен иметь катер, чтобы пройти 48 км по течению за 2 ч?
- Если судно прошло путь по течению за 3 ч, а время обратного пути неизвестно, но известно, что собственная скорость судна в 3 раза больше скорости течения, найдите обе скорости.
Решения к упражнениям можно выполнить, используя алгоритм из раздела 4.
Задача «Расстояние между пристанями А и В равно 48 км, путь по течению за 3 ч» – отличный пример того, как простые физические принципы (относительные скорости) соединяются с базовой алгеброй. Главное – правильно записать уравнения, помнить о знаках при сложении и вычитании скоростей, а также проверять полученный результат.
Если вы хотите закрепить материал, решайте варианты с разными дополнительными данными (время обратного пути, наличие второго судна, разный стартовый момент). Такие упражнения помогут уверенно справляться с задачами на движение в среде с течением, которые часто встречаются в ОГЭ, ЕГЭ и олимпиадных тестах.
Удачной учёбы!