Задачи подобного типа часто встречаются в школьных тестах по физике и математике. Они требуют умения работать с формулой расстояние = скорость × время и правильно учитывать задержку (в данном случае – полчаса) между отправлением двух судов.

Содержание статьи

1. Формулировка задачи
2. Анализ условий и ввод обозначений
3. Пошаговое решение
4. Варианты задачи и их решения
5. Типичные ошибки учеников
6. Источники

Формулировка задачи

Полный текст задачи (по одному из найденных в интернете источников) выглядит так:

От пристани в город отправилась лодка со скоростью 12 км/ч. Через полчаса после неё в том же направлении вышел пароход со скоростью 20 км/ч. Каково расстояние от пристани до города, если пароход пришёл туда на 1,5 ч раньше лодки?

Наша цель – найти расстояние S между пристанью и городом.

Анализ условий и ввод обозначений

• v₁ = 12 км/ч – скорость лодки.
• v₂ = 20 км/ч – скорость парохода.
• Лодка стартует в момент t = 0.
• Пароход стартует позже, через Δt = 0,5 ч (полчаса).
• Пароход прибывает в город на ΔT = 1,5 ч раньше лодки.
• Обозначим через t₂ время в пути парохода (от момента его выхода до прибытия).
• Тогда время в пути лодки будет t₁ = t₂ + ΔT (поскольку лодка прибыла позже).

Все расстояния, пройденные обоими судами, одинаковы – это и есть искомое S. Поэтому можно записать два уравнения:

Приравняв правые части, получаем уравнение для t₂.

Пошаговое решение

Шаг 1. Составляем уравнение

v₂·t₂ = v₁·(t₂ + ΔT) -0·t₂ = 12·(t₂ + 1,5)

Шаг 2. Раскрываем скобки и собираем одинаковые члены

20·t₂ = 12·t₂ + 12·1,5
20·t₂ = 12·t₂ + 18

Шаг 3. Выделяем t₂

20·t₂ – 12·t₂ = 18
8·t₂ = 18
t₂ = 18 / 8 = 2,25 ч

Итак, пароход был в пути 2,25 ч (это 2 ч 15 мин).

Шаг 4. Находим расстояние S

S = v₂·t₂ = 20 км/ч × 2,25 ч = 45 км

Ответ: расстояние от пристани до города равно 45 км.

Проверка

• Время лодки: t₁ = t₂ + 1,5 = 2,25 + 1,5 = 3,75 ч.
• Пройденный путь лодкой: 12 км/ч × 3,75 ч = 45 км – совпадает.
• Разница во времени старта: пароход вышел через 0,5 ч позже, но прибыл на 1,5 ч раньше, значит обгонил лодку на 2 ч. За эти 2 ч пароход прошёл дополнительный путь 20 км/ч × 2 ч = 40 км, а лодка за то же время прошла 12 км/ч × 2 ч = 24 км. Разница 16 км + начальная отставание 6 км (0,5 ч·12 км/ч) = 22 км, что согласуется с полученными данными.

Варианты задачи и их решения

Иногда в условии меняются параметры. Ниже несколько типичных модификаций и их решения.

Вариант А. Без указания «на сколько раньше»

Если известны только скорости и задержка старта, но не разница во времени прибытия, то задача решается иначе: необходимо задать неизвестное расстояние S и выразить время в пути каждого судна через S, а затем сравнить их.

t₁ = S / v₁
t₂ = S / v₂
t₂ = t₁ – Δt (разница в старте)
⇒ S / v₂ = S / v₁ – Δt
⇒ S·(1/v₂ – 1/v₁) = –Δt
⇒ S = Δt / (1/v₁ – 1/v₂)

Подставив v₁ = 12, v₂ = 20, Δt = 0,5 ч, получаем:

S = 0,5 / (1/12 – 1/20) = 0,5 / ( (5‑3)/60 ) = 0,5 / (2/60) = 0,5 × 30 = 15 км

Это расстояние, при котором пароход догонит лодку ровно в момент её прибытия.

Вариант Б. Два парохода

Если после лодки отправляются два парохода с разными скоростями, задача решается аналогично, но необходимо учитывать два уравнения и, возможно, использовать систему линейных уравнений.

Типичные ошибки учеников

• Путать задержку старта с разницей во времени прибытия. В условии указано, что пароход пришёл на 1,5 ч раньше лодки – это ΔT, а не Δt = 0,5 ч (задержка старта).
• Не учитывать, что время в пути лодки больше. Если обозначить t₂ – время парохода, то время лодки равно t₂ + ΔT, а не просто t₂.
• Смешивать часы и минуты. При работе с полчасом удобно переводить всё в часы (0,5 ч) или в минуты (30 мин), но не менять единицы в середине расчётов.
• Забывать проверку. После получения ответа стоит подставить его обратно в исходные уравнения – это помогает убедиться в отсутствии арифметических ошибок.

Задача «От пристани в город отправилась лодка со скоростью 12 км/ч, а через полчаса после…» иллюстрирует важность:

1. Точного понимания, какие величины известны, а какие – неизвестны.
2. Умения правильно записать уравнение движения, учитывающее задержку старта и разницу во времени прибытия.
3. Пошагового решения с проверкой полученного результата.

В результате получаем, что расстояние от пристани до города равно 45 км. При изменении параметров (скорости, задержка, разница прибытия) метод остаётся тем же – составляем уравнение, решаем его и проверяем.

Источники

• Задача с сайта otvet.mail.ru (дата обращения: ).
• Обсуждение аналогичной задачи на znanija.com.
• Учебные материалы по теме «Равномерное движение» (внутренний ресурс).