В этой статье мы подробно разберём типичную задачу из раздела «Задачи на движение», где известна часть времени пути и соответствующая ей скорость. На примере мотоциклиста, который первую треть времени проезжает со скоростью 60 км/ч, покажем, как находить общее расстояние, среднюю скорость и время в пути.
Содержание
- Постановка задачи
- Теоретические сведения
- Пошаговое решение
- Варианты задачи и их решения
- Типичные ошибки
- Практические упражнения
Постановка задачи
Условие. Мотоциклист выехал из города в поселок. Первая треть времени пути он проехал со скоростью 60 км/ч. Оставшуюся часть пути он проехал со скоростью 80 км/ч. Общая длина маршрута составляет 120 км. Требуется найти:
- Общее время в пути;
- Среднюю скорость мотоциклиста за весь путь;
- Расстояния, пройденные за каждую часть времени.
Задача типична для школьных олимпиад и ЕГЭ, где часто встречаются условия «первая треть пути», «вторая половина времени» и т.п;
Теоретические сведения
Связь «расстояние = скорость × время»
Для любого участка движения справедливо уравнение:
s = v·t,
где s – пройденное расстояние (км), v – скорость (км/ч), t – время (ч).
Деление пути по времени
Если известна доля времени, а не доля пути, то удобно ввести обозначения:
- T – общее время в пути;
- t₁ = T·α – время первой части, где α – часть от общего времени (в нашем случае α = 1/3);
- t₂ = T·(1‑α) – время второй части.
Средняя скорость
Средняя скорость v̅ определяется как отношение общего пройденного пути к общему времени:
v̅ = S / T,
где S – суммарное расстояние.
Как решить задачу
Записать выражения для расстояний каждой части пути через неизвестное общее время T.
Сложить их и приравнять к известному общему расстоянию.
Найти T.
Подставить T в формулы для расстояний и средней скорости.
Пошаговое решение
Шаг 1. Обозначения
Пусть T – общее время в часах.
Тогда:
- t₁ = T·⅓ – время, за которое мотоциклист ехал со скоростью 60 км/ч;
- t₂ = T·⅔ – время, за которое он ехал со скоростью 80 км/ч.
Шаг 2. Запишем расстояния
Для первой части:
s₁ = v₁·t₁ = 60·(T/3) = 20·T.
Для второй части:
s₂ = v₂·t₂ = 80·(2T/3) = (160/3)·T ≈ 53.33·T.
Шаг 3. Суммируем и сравниваем с известным расстоянием
Общее расстояние S = 120 км, поэтому:
s₁ + s₂ = 120
Подставляем s₁ и s₂:
20·T + (160/3)·T = 120
Приведём к общему знаменателю:
(60·T + 160·T) / 3 = 120 → (220·T)/3 = 120
Отсюда:
T = 120·3 / 220 = 360 / 220 = 1.636… ≈ 1 ч 38 мин.
Шаг 4. Находим расстояния каждой части
Сначала вычислим t₁ и t₂:
- t₁ = T/3 ≈ 0.545 ч ≈ 32 мин;
- t₂ = 2T/3 ≈ 1.091 ч ≈ 65 мин.
Тогда:
- s₁ = 60·0.545 ≈ 32.7 км;
- s₂ = 80·1.091 ≈ 87.3 км;
Проверка: 32.7 км + 87.3 км = 120 км – всё сходится.
Шаг 5. Средняя скорость
Средняя скорость:
v̅ = S / T = 120 / 1.636 ≈ 73.3 км/ч.
Ответ
- Общее время в пути ≈ 1 ч 38 мин;
- Расстояние за первую треть времени ≈ 32.7 км;
- Расстояние за оставшиеся две трети времени ≈ 87.3 км;
- Средняя скорость ≈ 73.3 км/ч.
Варианты задачи и их решения
Ниже представлены несколько типичных модификаций, которые часто встречаются в учебных пособиях и на ЕГЭ.
Первая треть пути, а не времени
Условие: «Первая треть пути мотоциклист проехал со скоростью 60 км/ч, оставшуюся часть – со скоростью 80 км/ч». Решение аналогично, но теперь «треть пути» задаёт отношение расстояний, а не времени.
Краткое решение
- Обозначим общее расстояние S = 120 км.
- Тогда s₁ = S/3 = 40 км, s₂ = 2S/3 = 80 км;
- Время первой части: t₁ = s₁ / 60 = 40/60 = 2/3 ч ≈ 40 мин.
- Время второй части: t₂ = s₂ / 80 = 80/80 = 1 ч.
- Общее время T = t₁ + t₂ = 1 ч 40 мин.
- Средняя скорость v̅ = S / T = 120 / (5/3) = 72 км/ч.
Две части времени, но скорости заданы в м/с
Если скорости даны в метрах в секунду, их удобно перевести в км/ч (1 м/с = 3.6 км/ч) или сразу работать в метрах и секундах, сохраняя единообразие.
Пример
Первая треть времени – 10 м/с, оставшиеся две трети – 20 м/с. Длина маршрута 1500 м.
Решение: переводим в км/ч → 36 км/ч и 72 км/ч, затем применяем формулы из раздела 3.
Сравнение двух мотоциклистов
В условии часто встречается сравнение «время встречи в два раза меньше, чем время, которое первый потратил на дорогу». Это приводит к системе уравнений, аналогичной рассматриваемой выше. Пример такой задачи можно найти в предоставленном фрагменте из интернета.
Типичные ошибки
- Путать доли времени и доли пути. В нашей задаче «треть времени» – это не «треть пути». Ошибка приводит к неверному соотношению скоростей.
- Не переводить единицы. Если скорости заданы в м/с, а расстояние в километрах, необходимо привести всё к одной системе измерений.
- Забывать про среднюю скорость. Средняя скорость – не просто арифметическое среднее скоростей, а отношение общего пути к общему времени.
- Сокращать дроби слишком рано. При работе с коэффициентами (1/3, 2/3) лучше сохранять их до последнего шага, чтобы избежать потери точности.
Практические упражнения
Попробуйте решить самостоятельно следующие задачи. Ответы указаны в конце.
- Мотоциклист проехал первую половину времени со скоростью 50 км/ч, вторую половину – со скоростью 90 км/ч. Общая длина маршрута 140 км. Найдите общее время и среднюю скорость.
- Велосипедист проехал первую треть пути со скоростью 15 км/ч, оставшуюся часть – со скоростью 25 км/ч. Длина маршрута 90 км. Определите время в пути.
- Два мотоциклиста выехали навстречу друг другу из пунктов А и В, расстояние между которыми 300 км. Первый ехал первую треть времени со скоростью 70 км/ч, а оставшееся время – со скоростью 100 км/ч. Второй ехал всё время со скоростью 80 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
Ответы
- T ≈ 2 ч 10 мин, v̅ ≈ 66 км/ч;
- t₁ = 30/15 = 2 ч, t₂ = 60/25 = 2.4 ч, T = 4.4 ч.
- Сначала вычисляем время встречи для первого мотоциклиста: t₁ = T/3, t₂ = 2T/3. Путь первого: 70·t₁ + 100·t₂ = 70·(T/3) + 100·(2T/3) = (70+200)·T/3 = 270·T/3 = 90·T. Путь второго: 80·T. Сумма путей = 300 → 90·T + 80·T = 300 → 170·T = 300 → T ≈ 1.76 ч ≈ 1 ч 45 мин.
Задачи, в которых известна часть времени пути и соответствующая ей скорость, требуют внимательного разделения общего времени на части, записи расстояний через неизвестное общее время и последующего решения простого линейного уравнения. При правильном применении формул s = v·t и v̅ = S/T решение получаеться быстро и без ошибок.
Помните, что ключ к успеху – чёткое понимание, какая часть пути (время или расстояние) задаётся в условии. Регулярно практикуйтесь, решая варианты задач, и вы сможете уверенно справляться с любыми задачами на движение.
Дата публикации: 28 мая 2026