Задачи на движение по воде — это классический раздел математики, с которым ученики сталкиваются при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ. Одной из наиболее интересных и показательных является задача, где рассматривается движение лодки по течению и против него. В этой статье мы подробно разберем популярную задачу: «Моторная лодка за 1,5 ч доставляет почту из города в поселок, расположенный ниже по течению реки. Сколько времени займет обратный путь, если скорость движения лодки относительно воды в 4 раза больше скорости течения?»
Суть задач на движение по воде
Прежде чем перейти к решению, важно вспомнить базовые правила. Главное отличие движения по воде от движения по суше заключается в наличии течения реки, которое либо помогает объекту двигаться быстрее (по течению), либо замедляет его (против течения).
- Скорость по течению равна сумме собственной скорости объекта (в нашей задаче — скорости моторной лодки относительно воды) и скорости течения реки.
- Скорость против течения равна разности собственной скорости объекта и скорости течения реки.
Условие задачи
Давайте выделим ключевые данные из условия:
- Путь по течению (из города в поселок, так как поселок расположен ниже по течению) занимает 1,5 часа.
- Скорость лодки относительно воды (собственная скорость) в 4 раза больше скорости течения реки.
Вопрос: Сколько времени займет обратный путь (против течения)?
Подробное решение задачи
Для удобства расчетов обозначим неизвестные величины через переменные. Поскольку собственная скорость лодки привязана к скорости течения, логично за переменную x принять именно скорость течения.
Пусть:
- x — скорость течения реки (в км/ч);
- Тогда 4x — собственная скорость моторной лодки (скорость лодки в неподвижной воде, в 4 раза больше скорости течения).
Шаг 2: Определение скоростей по течению и против течения
Теперь найдем фактическую скорость лодки на обоих участках пути.
- Скорость лодки по течению (из города в поселок): 4x + x = 5x (км/ч).
- Скорость лодки против течения (обратный путь из поселка в город): 4x ⎼ x = 3x (км/ч).
Шаг 3: Вычисление расстояния
Нам известно время, затраченное на путь по течению — 1,5 часа. Используя формулу пути S = v * t, мы можем найти расстояние между городом и поселком.
S = 5x * 1,5 = 7,5x (км).
Обратите внимание: мы не получили конкретного числового значения расстояния, но нам это и не нужно. Расстояние в обе стороны одинаково, поэтому мы можем выразить время обратного пути через эту формулу.
Шаг 4: Расчет времени обратного пути
Чтобы найти время, затраченное на обратный путь, нужно пройденное расстояние разделить на скорость движения против течения.
t = S / v (против течения)
t = 7,5x / 3x
Переменная x (скорость течения) сокращается, так как она не равна нулю (иначе не было бы течения реки).
t = 7,5 / 3 = 2,5 (часа)
Ответ
Обратный путь у моторной лодки займет 2,5 часа (или 2 часа 30 минут).
Почему так получилось? Логическое объяснение
Многие ученики удивляются, почему ответ не зависит от конкретной скорости реки или расстояния. Секрет кроется в пропорциях. Поскольку собственная скорость лодки в 4 раза больше скорости течения, лодка теряет при движении против течения лишь четверть своей скорости, но приобретает по течению пятую часть (суммируя 4 части и 1 часть).
Скорость по течению составляет 5 условных единиц, а против — 3 условные единицы. Отношение скоростей равно 5:3. Поскольку расстояние одинаковое, время будет обратно пропорционально скорости; Следовательно, время против течения будет относиться ко времени по течению как 5:3.
Если 1,5 часа — это 3 части, то 1 часть составляет 0,5 часа. А 5 частей (время против течения) составят 5 * 0,5 = 2,5 часа. Это подтверждает наш алгебраический расчет!
Аналогичные задачи из банка ОГЭ и ЕГЭ
Подобные задачи регулярно встречаются в экзаменационных вариантах. Вот несколько примеров родственных задач, которые помогут закрепить навык:
- Задача на разность времен: Моторная лодка прошла против течения реки 208 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 5 часов меньше, чем на путь против течения. (Здесь потребуется составить уравнение, где неизвестной будет собственная скорость или скорость течения).
- Задача на озере (без течения): На озере расположены пристани А и В. Расстояние между пристанями равно 90 км; Моторная лодка проплыла от А до В с постоянной скоростью, после чего сразу отправилась обратно со скоростью на 5 км/ч больше прежней. (В озере течения нет, что упрощает расчеты).
- Задача на поиск скорости течения: Моторная лодка прошла против течения реки 297 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 3 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость течения реки, если скорость лодки в неподвижной воде равна 18 км/ч.
Задача о моторной лодке, доставляющей почту за 1,5 часа, — отличный пример того, как грамотное введение переменных и понимание физического смысла формул позволяют решить, казалось бы, сложную задачу в несколько действий. Главное правило при решении задач на движение по воде, всегда четко разделять собственную скорость объекта, скорость течения, скорость по течению и скорость против течения. Успешной вам подготовки к экзаменам!