В учебных пособиях по математике часто встречается задача‚ в которой два быстроходных катера одновременно отплывают от одной
пристани в противоположных направлениях. Одна из формулировок выглядит так:

В 19 ч от пристани отошли в противоположных направлениях два катера. Скорость первого катера – 48 км/ч‚
скорость второго – 52 км/ч. Через какое время расстояние между ними станет равным 300 км?

Далее мы подробно разберём‚ как решить эту задачу‚ какие формулы использовать и какие типичные ошибки могут возникнуть.

Постановка задачи

• Время отправления: 19:00 (одновременно оба катера покидают пристань).
• Скорости катеров:
  • Первый катер – v₁ = 48 км/ч;
  • Второй катер – v₂ = 52 км/ч.
• Требуется найти время t‚ через которое расстояние между катерами будет равно S = 300 км.

Математическая модель

Поскольку катера движутся в противоположных направлениях‚ их относительная (суммарная) скорость равна сумме индивидуальных скоростей:

v_общ = v₁ + v₂ = 48 + 52 = 100 км/ч

Если они находятся в начале пути в одной точке‚ то через t часов расстояние между ними будет:

S = v_общ·t

Отсюда получаем простое линейное уравнение:

t = S / v_общ

Подстановка чисел и вычисление

1. Подставляем известные величины:

   t = 300 км / 100 км/ч

2. Выполняем деление:

   t = 3 ч

Ответ: через 3 часа‚ то есть в 22:00‚ расстояние между катерами будет равно 300 км.

Проверка решения

Для уверенности проверим расчёт‚ вычислив пройденный путь каждым катером за 3 часа:

• Первый катер: 48 км/ч × 3 ч = 144 км;
• Второй катер: 52 км/ч × 3 ч = 156 км.

Сумма пройденных расстояний: 144 км + 156 км = 300 км. Всё согласуется с условием задачи.

Вариации задачи

В учебных материалах встречаются похожие формулировки‚ где меняются:

• Время отправления (например‚ «в 7 ч утра»);
• Скорости катеров (может быть 45 км/ч и 55 км/ч и т.д.);
• Требуемое расстояние (например‚ 168 км‚ 500 км и др.).

Для любой из этих вариаций алгоритм решения остаётся тем же:

1. Найти суммарную скорость v₁ + v₂;
2. Разделить требуемое расстояние S на полученную скорость;
3. Получить время t в часах.

Часто встречающиеся ошибки

• Неправильное сложение скоростей. Если катера движутся в одну сторону‚ их относительная скорость будет разностью скоростей‚ а не суммой.
• Забывание единиц измерения. Важно‚ чтобы скорости и расстояние были в одинаковых единицах (км/ч и км).
• Путаница с временем. После вычисления t в часах часто забывают добавить его к исходному времени отправления.

Как решить задачу «в уме»

Если требуется быстрое решение без калькулятора‚ можно воспользоваться простыми оценками:

• Суммарная скорость 100 км/ч – это удобно‚ потому что 100 делится на любые круглые десятки без остатка.
• Тогда t = S / 100 – просто переносим запятую в числе S. Например‚ 300 км → 3 ч‚ 168 км → 1‚68 ч (≈ 1 ч 41 мин).

Итак‚ полное решение задачи выглядит так:

1. Определяем суммарную скорость: v₁ + v₂ = 48 + 52 = 100 км/ч;
2. Записываем уравнение расстояния: S = (v₁ + v₂)·t;
3. Подставляем известные данные: 300 = 100·t;
4. Вычисляем t = 300 / 100 = 3 ч;
5. Ответ: через 3 часа после 19:00‚ то есть в 22:00‚ расстояние между катерами будет 300 км.

Задача «В 19 ч от пристани отошли» – классический пример применения понятия относительной скорости. Она помогает отработать навыки:

• Сложения скоростей при движении в противоположных направлениях;
• Построения и решения простых линейных уравнений;
• Проверки полученного результата.

Освоив эту задачу‚ вы легко сможете решать более сложные задачи о движении нескольких объектов в разных направлениях.