Задачи на движение — это классический раздел математики, с которым сталкиваются школьники на ОГЭ, ЕГЭ и на обычных уроках алгебры (например, в 8 классе по учебнику Мордковича или Макарычева). Одним из самых популярных и типичных сюжетов является следующая формулировка: «Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой. Скорость первого на 10 км/ч больше скорости второго, и поэтому первый автомобиль приезжает на место на 1 час раньше второго».
В этой статье мы подробно разберем, почему такие задачи вызывают трудности, как правильно составить математическую модель и решить уравнение без ошибок.
Почему важно уметь решать такие задачи?
Главная сложность в текстовых задачах — это не само решение квадратного уравнения, а перевод текста на язык математики. Ученики часто путают, какую величину обозначить за переменную, и как выразить время через скорость и расстояние. Кроме того, в таких задачах часто появляются посторонние корни (отрицательные скорости), которые нужно уметь отсеивать.
Классическая задача: 560 километров и разница скоростей
Рассмотрим наиболее часто встречающийся вариант задачи, который фигурирует во многих сборниках для подготовки к экзаменам:
«Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой, находящийся на расстоянии 560 км. Скорость первого на 10 км/ч больше скорости второго, и поэтому первый автомобиль приезжает на место на 1 ч раньше второго. Определите скорость каждого автомобиля».
Шаг 1: Составление математической модели
Главное правило в задачах на движение: за переменную (x) удобнее всего обозначать то, что нужно найти, но если это затрудняет составление уравнения, обозначают меньшую из величин.
В нашем случае скорости связаны прямым соотношением («на 10 больше»), а времена — обратным («на 1 час раньше», то есть «на 1 час меньше»). Если мы обозначим время, уравнение получится сложным. Поэтому обозначаем скорость:
- Пусть x км/ч — скорость второго автомобиля.
- Тогда (x + 10) км/ч — скорость первого автомобиля.
Теперь вспомним базовую формулу: Время = Расстояние / Скорость. Выразим время в пути для каждого автомобиля:
- Время второго: 560 / x часов.
- Время первого: 560 / (x + 10) часов.
По условию, первый приехал на 1 час раньше, то есть он находился в пути на 1 час меньше. Значит, время второго больше времени первого на 1 час. Составляем уравнение:
560/x ― 560/(x + 10) = 1
Шаг 2: Решение уравнения
Для решения этого дробно-рационального уравнения приведем левую часть к общему знаменателю x(x + 10):
(560(x + 10) ⸺ 560x) / (x(x + 10)) = 1
Раскрываем скобки в числителе:
(560x + 5600 ⸺ 560x) / (x(x + 10)) = 1
Иксы в числителе сокращаются, остается:
5600 / (x(x + 10)) = 1
Умножаем обе части на знаменатель (при условии, что x ≠ 0 и x ≠ -10):
x² + 10x = 5600
Переносим все в одну сторону, получая квадратное уравнение:
x² + 10x ⸺ 5600 = 0
Шаг 3: Нахождение корней и проверка
Найдем дискриминант по формуле D = b² ― 4ac:
D = 10² ⸺ 4 * 1 * (-5600) = 100 + 22400 = 22500
Извлекаем корень из дискриминанта: √22500 = 150
Находим корни уравнения:
x₁ = (-10 ― 150) / 2 = -80
x₂ = (-10 + 150) / 2 = 70
Важно помнить: скорость не может быть отрицательной величиной. Поэтому корень x₁ = -80 не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость второго автомобиля равна 70 км/ч.
Скорость первого автомобиля на 10 км/ч больше:
70 + 10 = 80 км/ч
Проверка ответа:
Всегда полезно сделать проверку:
- Время первого: 560 / 80 = 7 часов.
- Время второго: 560 / 70 = 8 часов.
- Разница во времени: 8 ⸺ 7 = 1 час, что полностью соответствует условию задачи!
Альтернативный подход: обозначение времени
Иногда встречаются попытки решить задачу иначе. Пусть скорость первого автомобиля — х, время пути, у. Тогда скорость второго автомобиля — (х ― 10), время пути — (у + 1). Имеем равенство:
xy = (x ― 10)(y + 1)
Однако при таком подходе мы получаем уравнение с двумя переменными: xy = xy + x ― 10y ― 10, откуда x ⸺ 10y = 10. Чтобы его решить, нам все равно придется использовать расстояние (560 = xy), что в итоге приведет нас к тому же самому квадратному уравнению, но лишняя переменная только запутает решение. Поэтому метод обозначения скорости через одну переменную x является оптимальным.
Другие популярные сюжеты с автомобилями
На экзаменах (например, в задании 10 ЕГЭ по профильной математике или в задаче 21 ОГЭ) сюжет может немного видоизменяться:
- Движение навстречу друг другу. Из городов A и B, расстояние между которыми 330 км или 435 км, навстречу друг другу одновременно выезжают два автомобиля. Здесь ключевой формулой будет V сближения = V₁ + V₂.
- Движение с задержкой. Первый автомобиль выехал, а второй навстречу ему выехал только через час. В таких задачах необходимо корректно выражать время каждого участника движения.
- Поломка на полпути. Автомобиль первого автомобилиста сломался на полпути между городами, и на починку пришлось потратить час. В этом случае общее время первого автомобиля складывается из времени движения до поломки, 1 часа ремонта и времени движения после починки.
Главные правила для успешного решения
Чтобы легко справляться с любыми задачами на движение, запомните следующие принципы:
- Всегда делайте таблицу. Колонки: Скорость (V), Время (t), Расстояние (S). Строки: Первый автомобиль, Второй автомобиль. Это визуализирует данные и помогает увидеть связь.
- Следите за единицами измерения. Если скорость в км/ч, а время в минутах, обязательно переведите минуты в часы.
- Не забывайте про ОДЗ. Знаменатели не должны обращаться в ноль, а скорость и время не могут быть отрицательными.
- Разница «на сколько-то» — это вычитание. Разница «во сколько-то» — это деление. Четко понимайте, из чего вычитать: из большего меньшее.
Регулярная практика с подобными задачами выработает навык быстрого составления уравнений, и задачи про два автомобиля, выезжающие из одного города в другой, станут для вас самым легким баллом на экзамене!