Задачи на движение, это классический раздел математики, с которым сталкивается каждый школьник, особенно при подготовке к экзаменам (ОГЭ и ЕГЭ). Одним из самых популярных и показательных типов таких задач является та, где два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой, скорость первого на 10 км/ч больше скорости второго, и в результате разницы скоростей один из них прибывает на место раньше другого.
В этой статье мы подробно разберем этот тип задач, составим математическую модель, решим уравнение и сделаем проверку, чтобы вы могли уверенно справляться с подобными заданиями.
Условие задачи
Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой, находящийся на расстоянии 560 км. Скорость первого автомобиля на 10 км/ч больше скорости второго, и поэтому первый автомобиль приезжает на место на 1 час раньше второго. Найдите скорость каждого автомобиля.
Анализ условия и составление таблицы
Главное правило при решении задач на движение — правильно составить уравнение. Для этого удобнее всего занести все известные и неизвестные данные в таблицу, используя базовую формулу: S = V * t (Расстояние = Скорость * Время).
Обозначим скорость второго автомобиля за x км/ч. Тогда скорость первого автомобиля будет равна (x + 10) км/ч. Расстояние известно — 560 км. Выразим время движения каждого автомобиля:
- Время первого: 560 / (x + 10)
- Время второго: 560 / x
Таблица данных
- Первый автомобиль: Скорость = (x + 10) км/ч, Расстояние = 560 км, Время = 560 / (x + 10) ч
- Второй автомобиль: Скорость = x км/ч, Расстояние = 560 км, Время = 560 / x ч
Составление математической модели
Теперь нужно связать время движения обоих автомобилей. В условии сказано, что первый приезжает на 1 час раньше второго. Это означает, что он находился в пути на 1 час меньше. Следовательно, время второго автомобиля больше времени первого на 1 час.
Составляем уравнение:
560/x ー 560/(x + 10) = 1
Решение уравнения
Приступим к пошаговому решению полученного дробно-рационального уравнения.
Шаг 1. Перенесем все члены уравнения в одну сторону (например, влево):
560/x ─ 560/(x + 10) ─ 1 = 0
Шаг 2. Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель: x(x + 10).
(560(x + 10) ─ 560x ー 1*x(x + 10)) / (x(x + 10)) = 0
Шаг 3. Раскроем скобки в числителе:
560x + 5600 ー 560x ─ x² ─ 10x = 0
Шаг 4. Приведем подобные слагаемые:
-x² ー 10x + 5600 = 0
Шаг 5. Умножим обе части уравнения на -1 для удобства:
x² + 10x ─ 5600 = 0
Шаг 6. Решим квадратное уравнение через дискриминант:
D = b² ─ 4ac = 10² ー 4 * 1 * (-5600) = 100 + 22400 = 22500
Корень из дискриминанта: √22500 = 150
Найдем корни уравнения:
x₁ = (-10 + 150) / 2 = 140 / 2 = 70
x₂ = (-10 ─ 150) / 2 = -160 / 2 = -80
Шаг 7. Анализ корней. Скорость не может быть отрицательной, поэтому x₂ = -80 не подходит по смыслу задачи. Значит, скорость второго автомобиля равна 70 км/ч.
Ответ и проверка
Найдем скорость первого автомобиля:
x + 10 = 70 + 10 = 80 км/ч
Проверка:
- Время в пути первого автомобиля: 560 / 80 = 7 часов.
- Время в пути второго автомобиля: 560 / 70 = 8 часов.
- Разница во времени: 8 ─ 7 = 1 час.
Условие задачи полностью соблюдается! Первый автомобиль приезжает ровно на 1 час раньше.
Скорость первого автомобиля, 80 км/ч, скорость второго автомобиля — 70 км/ч.
Полезные советы для решения подобных задач
- Всегда составляйте таблицу. Это визуализирует задачу и помогает не перепутать, где чья скорость и время.
- Внимательно читайте вопрос. Часто ученики обозначают за x то, что нужно найти, и сразу получают ответ. Но иногда просят найти скорость другого автомобиля или расстояние. Всегда перечитывайте вопрос в конце.
- Не забывайте про ОДЗ (область допустимых значений). Знаменатель не должен равняться нулю, а скорость — быть отрицательной. Отсеивайте лишние корни.
- Делайте проверку. Как мы показали выше, подстановка ответа в условие занимает пару минут, но гарантирует, что вы не допустили вычислительную ошибку.
Задачи на движение кажутся сложными только на первый взгляд. Главное — правильно составить уравнение, и тогда решение сведется к простым алгебраическим преобразованиям. Успехов в изучении математики!