Задачи на движение — это классический раздел математики, с которым сталкивается каждый школьник при подготовке к экзаменам (ОГЭ и ЕГЭ), а также студент на первых курсах․ Одним из самых популярных и показательных типов таких задач являеться сценарий, когда два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой, причем скорость первого на 20 км/ч больше скорости второго․
В этой статье мы подробно разберем методику решения подобных задач, составим математическую модель и покажем, как правильно работать с дробными значениями времени, которые часто становятся камнем преткновения для учеников․
Суть задачи и алгоритм решения
Прежде чем переходить к конкретным вычислениям, давайте вспомним базовую формулу, на которой строится весь процесс решения:
S = V × t
Где:
- S — расстояние между городами (путь);
- V, скорость движения;
- t, время в пути․
Из этой формулы вытекают два следствия, которые нам понадобятся:
- t = S / V (время равно расстоянию, деленному на скорость)
- V = S / t (скорость равна расстоянию, деленному на время)
Главный принцип решения текстовых задач — составление уравнения на основе разницы во времени․ Поскольку первый автомобиль едет быстрее, он тратит на весь путь меньше времени․ Разница во времени их прибытия в конечный пункт и есть ключ к составлению уравнения․
Классический пример задачи
Рассмотрим типичную формулировку, которая часто встречается в учебниках алгебры 8 класса и в базах заданий ЕГЭ:
Условие задачи:
Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой․ Скорость первого на 20 км/ч больше скорости второго, и поэтому первый автомобиль приезжает на место на 2 ч 24 мин раньше второго․ Расстояние между городами равно 420 км․ Найдите скорость каждого автомобиля․
Пошаговое решение
Шаг 1․ Перевод единиц измерения
Самая частая ошибка в таких задачах — сложение часов и минут без перевода в единую систему․ В математике время должно быть выражено в одних единицах․ Поскольку скорость дана в км/ч, время тоже должно быть в часах․
Переведем 2 ч 24 мин в часы:
24 мин = 24 / 60 ч = 2/5 ч = 0,4 ч
Следовательно, 2 ч 24 мин = 2,4 часа․
Пусть x км/ч — скорость второго автомобиля (того, который едет медленнее)․
Тогда скорость первого автомобиля будет (x + 20) км/ч․
Теперь выразим время каждого автомобиля через расстояние и скорость:
- Время второго автомобиля: 420 / x часов․
- Время первого автомобиля: 420 / (x + 20) часов․
Шаг 3․ Составление математической модели (уравнения)
По условию задачи первый автомобиль приехал на 2,4 часа раньше․ Это означает, что он находился в пути на 2,4 часа меньше․ Следовательно, если из времени второго автомобиля вычесть время первого, получится 2,4 часа․
Уравнение принимает вид:
420/x ─ 420/(x + 20) = 2,4
Шаг 4․ Решение уравнения
Для решения этого дробно-рационального уравнения необходимо привести дроби к общему знаменателю и избавиться от дробей с помощью основного свойства пропорции․
- Умножим обе части уравнения на x(x + 20) (при условии, что x > 0):
- Раскроем скобки:
- Упростим левую часть (иксы взаимно уничтожаются):
- Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение, и для удобства разделим обе части на 2,4:
- Найдем дискриминант:
- Найдем корни уравнения:
420(x + 20) ─ 420x = 2,4x(x + 20)
420x + 8400 ⎻ 420x = 2,4x² + 48x
8400 = 2,4x² + 48x
2,4x² + 48x ─ 8400 = 0
x² + 20x ─ 3500 = 0
D = b² ⎻ 4ac = 20² ─ 4 × 1 × (-3500) = 400 + 14000 = 14400
√D = 120
x₁ = (-20 + 120) / 2 = 50
x₂ = (-20 ⎻ 120) / 2 = -70
Шаг 5․ Анализ корней и ответ
Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень x₂ = -70 не подходит по смыслу задачи (это так называемый посторонний корень)․
Остается x = 50 км/ч — это скорость второго автомобиля․
Тогда скорость первого автомобиля равна:
x + 20 = 50 + 20 = 70 км/ч․
Проверка:
- Время первого авто: 420 / 70 = 6 часов․
- Время второго авто: 420 / 50 = 8,4 часа․
- Разница: 8,4 ─ 6 = 2,4 часа (что равно 2 ч 24 мин)․
Задача решена верно!
Разбор похожей задачи (разница в 10 км/ч)
Для закрепления материала рассмотрим еще один популярный вариант задачи из учебников Макарычева и Мордковича, где разница скоростей составляет 10 км/ч, а расстояние равно 560 км․
Условие: Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой․ Скорость первого на 10 км/ч больше скорости второго, и поэтому первый автомобиль приезжает на место на 1 ч раньше второго․ Расстояние между городами равно 560 км․ Найти скорости автомобилей․
Действуем по отработанному алгоритму:
- Пусть x — скорость второго авто, тогда (x + 10) — скорость первого․
- Разница во времени равна 1 час: 560/x ⎻ 560/(x + 10) = 1
- Умножаем на x(x + 10): 560(x + 10) ⎻ 560x = x(x + 10)
- Раскрываем скобки: 5600 = x² + 10x
- Переносим и приводим к стандартному виду: x² + 10x ⎻ 5600 = 0
- Решаем квадратное уравнение (можно по теореме Виета): корни -80 и 70․
- Отбрасываем отрицательный корень․ Скорость второго авто = 70 км/ч․
- Скорость первого авто = 70 + 10 = 80 км/ч․
Полезные советы для решения задач на движение
- Всегда проверяйте единицы измерения․ Если скорость в км/ч, а время в минутах, обязательно переведите минуты в часы (поделите на 60)․
- Делайте проверку․ Подставьте полученные значения в исходное уравнение или просто посчитайте время каждого объекта, это займет пару минут, но убережет от обидных ошибок․
- Правильно определяйте разницу; Если кто-то приезжает раньше, значит, его время меньше․ В уравнении из большего времени вычитается меньшее․
- Не бойтесь больших чисел․ В процессе решения могут появляться громоздкие дискриминанты, но они почти всегда извлекаются из-под корня нацело․
Задачи, где два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой с разной скоростью, отлично тренируют логическое мышление и навык работы с рациональными уравнениями․ Главное — аккуратно составить математическую модель и не спешить при вычислениях․