Текстовые задачи на движение, это неотъемлемая часть школьной программы по математике и алгебре, а также частый гость на экзаменах ОГЭ и ЕГЭ. Одной из самых известных и методически важных задач является следующая постановка: «Мотоциклист ехал из одного города в другой 4 ч, на обратном пути…». Дальше могут следовать различные условия, которые меняют суть задачи, но базовый принцип остается неизменным.
В этой статье мы подробно разберем несколько вариаций этой задачи, вспомним главную формулу движения и научимся легко составлять уравнения для нахождения скорости, времени и расстояния.
Главная формула: основа всех решений
Прежде чем переходить к разбору конкретных условий, необходимо твердо усвоить базовую формулу прямолинейного равномерного движения:
S = V * t
- S, пройденный путь (расстояние между городами);
- V — скорость движения;
- t, затраченное время.
Из этой формулы легко выразить недостающие компоненты: V = S / t и t = S / V. Именно эти три вариации и позволяют нам связывать условия «туда» и «обратно», ведь расстояние между городами А и Б в обе стороны одинаковое. Это ключевой момент: если мотоциклист ехал из одного города в другой, а затем вернулся, мы всегда можем приравнять пути.
Вариант 1: Увеличение скорости на обратном пути
Условие задачи
Мотоциклист ехал из одного города в другой 4 ч. На обратном пути он увеличил скорость на 20 км/ч, поэтому затратил на обратный путь на 1 час меньше. Найдите расстояние между городами и первоначальную скорость мотоциклиста.
Решение
- Введем переменную. Пусть x км/ч — первоначальная скорость мотоциклиста (из города А в город Б).
- Определим параметры пути «туда». Время нам известно из условия: 4 часа. Значит, расстояние между городами равно 4x км.
- Определим параметры пути «обратно». Скорость увеличилась на 20 км/ч, значит, она стала (x + 20) км/ч. Время в пути уменьшилось на 1 час, то есть стало (4 — 1) = 3 часа.
- Выразим расстояние «обратно». Путь обратно равен 3(x + 20) км.
- Составим уравнение. Так как расстояние туда и обратно одинаковое, приравняем полученные выражения:
4x = 3(x + 20) - Решим уравнение.
4x = 3x + 60
4x ⎯ 3x = 60
x = 60
Итак, первоначальная скорость мотоциклиста — 60 км/ч. Расстояние между городами: 4 * 60 = 240 км.
Вариант 2: Изменение скорости на части пути
Этот вариант сложнее и чаще встречается в алгебре 8 класса (например, задача №710 из учебника Макарычева).
Мотоциклист ехал из одного города в другой 4 ч. На обратном пути первые 100 км он ехал с той же скоростью, а затем уменьшил её на 10 км/ч и поэтому на обратный путь затратил на 30 мин больше. Найдите первоначальную скорость.
- Введем переменную. Пусть x км/ч — скорость мотоциклиста на пути из А в Б.
- Расстояние между городами равно 4x км.
- Разберем обратный путь. Он состоит из двух участков:
Первый участок: 100 км со скоростью x км/ч. Время на этом участке: 100/x часов.
Второй участок: оставшееся расстояние. Так как весь путь 4x, а проехал он 100 км, оставшийся путь равен (4x — 100) км. Скорость на этом участке: (x ⎯ 10) км/ч. Время: (4x — 100) / (x — 10) часов. - Общее время на обратном пути. Оно складывается из времени на обоих участках:
t (обратно) = 100/x + (4x ⎯ 100) / (x, 10) - Свяжем времена. Известно, что на обратный путь затрачено на 30 минут (то есть 0,5 часа) больше, чем на путь туда (который составил 4 часа). Значит, время обратно равно 4 + 0,5 = 4,5 часа.
- Составим и решим уравнение:
100/x + (4x — 100) / (x — 10) = 4,5
Умножим обе части уравнения на общего знаменатель 2x(x ⎯ 10), чтобы избавиться от дробей, и после приведения подобных слагаемых получим квадратное уравнение. Его решение покажет, что первоначальная скорость равна 50 км/ч (второй корень придется отбросить, так как скорость не может быть меньше 10 в данном контексте, иначе второй участок пути нельзя будет проехать).
Вариант 3: Остановка на обратном пути
Мотоциклист ехал из пункта А в пункт В 4 часа. На обратном пути он сделал остановку на 4 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость мотоциклиста на обратном пути, если она на 10 км/ч меньше первоначальной.
Здесь важно понимать разницу между временем нахождения в пути и временем движения.
- Пусть x км/ч — скорость туда. Расстояние S = 4x.
- Скорость обратно: (x — 10) км/ч.
- Общее время, затраченное на обратный путь (включая стоянку), равно 4 часам (по условию «затратил столько же времени»). Из них 4 часа он стоял. Значит, время чистого движения обратно равно 4 — 4 = 0 часов?
Конечно, в такой формулировке кроется подвох или опечатка составителя (часто в реальных задачах остановка составляет, например, 1 час при разнице во времени в 30 минут). Если же остановка равна разнице во времени, это означает, что мотоциклист двигался обратно с той же скоростью и тем же временем, что не сходится с изменением скорости. Главный вывод: всегда внимательно читайте условие и разделяйте время движения и время стоянки!
Полезные советы по решению задач на движение
- Делайте таблицы. Лучший способ организовать данные — составить таблицу с тремя колонками: Скорость (V), Время (t), Расстояние (S) и двумя строками: «Туда» и «Обратно». Это визуализирует условие и поможет составить уравнение.
- Следите за единицами измерения. Если скорость дана в км/ч, а время в минутах (например, 30 минут), обязательно переводите минуты в часы (30 мин = 0,5 ч = 1/2 ч). Это самая частая ошибка школьников.
- Помните про равенство путей. Путь из А в Б и путь из Б в А всегда равны. Это ваш главный инструмент для составления уравнений.
- Анализируйте ответ. Получив корень уравнения, задумайтесь: может ли скорость быть отрицательной? Может ли время в пути оказаться больше, чем общее время поездки? Отсеивайте нелогичные ответы.
Фраза «Мотоциклист ехал из одного города в другой 4 ч, на обратном пути…» — это не просто условие задачи, это отличный тренажер для развития логического мышления. Независимо от того, увеличил ли он скорость, уменьшил её на части пути или сделал остановку, алгоритм решения всегда един: составить таблицу, выразить расстояние для пути туда и обратно, приравнять их и решить полученное уравнение. Практикуйтесь с разными условиями, и текстовые задачи на движение перестанут казаться сложными!