Задачи на движение — это классический жанр текстовых сюжетных задач, который неизменно встречается в школьной программе по математике и физике, а также на выпускных экзаменах (ЕГЭ и ОГЭ). Одним из самых популярных и показательных примеров является задача, где мотоциклист движется из одного города в другой со скоростью 60 км/ч. На первый взгляд, условие кажется простым, но именно такие задачи формируют глубокое понимание взаимосвязи между скоростью, временем и расстоянием.
В этой статье мы подробно разберем базовые принципы решения подобных задач, рассмотрим классические примеры с изменением скорости на обратном пути и научимся вычислять среднюю скорость.
Основная формула: фундамент решения задач
Прежде чем переходить к сложным сюжетам, необходимо твердо усвоить базовую формулу прямолинейного равномерного движения:
S = V × t
- S — пройденный путь (расстояние между городами, в километрах);
- V — скорость движения (км/ч);
- t — затраченное время (в часах).
Если мотоциклист выехал из города А в город В, расстояние между которыми составляет 60 км, и его скорость равна 60 км/ч, то время в пути найти элементарно: t = S / V = 60 / 60 = 1 час. Однако в экзаменационных задачах сюжет всегда сложнее.
Классическая задача: обратный путь и изменение скорости
Часто в заданиях (например, из каталога Школково) сюжет разворачивается: мотоциклист добирается из пункта А в пункт В, а затем возвращается обратно, причем его скорость меняется. Рассмотрим типичную проблему, основанную на предоставленных данных.
Условие задачи
Из одного города в другой мотоциклист двигался со скоростью 60 км/ч. На обратном пути его скорость составила 10 м/с. Найдите среднюю скорость мотоциклиста за все время движения.
Решение
Это коварная задача, так как многие школьники совершают типичную ошибку: складывают скорости и делят на два. Но средняя скорость — это не среднее арифметическое скоростей, а отношение всего пройденного пути ко всему затраченному времени.
- Переведем единицы измерения в одну систему. Скорость на обратном пути дана в м/с. Переведем в км/ч:
10 м/с = 10 × 3600 / 1000 = 36 км/ч. - Примем расстояние между городами за S. Для удобства расчетов (и опираясь на данные из условия) возьмем S = 60 км.
- Найдем время в пути туда.
t₁ = S / V₁ = 60 км / 60 км/ч = 1 час. - Найдем время в пути обратно.
t₂ = S / V₂ = 60 км / 36 км/ч = 60/36 = 5/3 часа. - Вычислим общий путь и общее время.
Общий путь S_общ = S + S = 60 + 60 = 120 км.
Общее время t_общ = t₁ + t₂ = 1 + 5/3 = 8/3 часа. - Найдем среднюю скорость.
V_ср = S_общ / t_общ = 120 / (8/3) = 120 × 3 / 8 = 45 км/ч.
Ответ: Средняя скорость мотоциклиста составила 45 км/ч.
Вариант с остановкой и увеличением скорости
В экзаменационных задачах ЕГЭ часто добавляют факторы, влияющие на время: остановки, поломки или изменение скорости. Рассмотрим еще один классический сюжет.
Расстояние между городами А и В равно 60 км. Мотоциклист выехал из А в В с постоянной скоростью. На следующий день он отправился обратно в А со скоростью на 8 км/ч больше прежней. По пути он сделал остановку на 8 часов, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость мотоциклиста на пути из А в В.
Пусть x км/ч — скорость мотоциклиста на пути из А в В.
- Тогда время движения из А в В: t₁ = 60 / x часов.
- Скорость на обратном пути: (x +
км/ч. - Время движения на обратном пути (в движении): t₂ = 60 / (x + часов.
- Но мы знаем, что общее время обратного пути с учетом остановки равно времени прямого пути:
t₂ + 8 = t₁ - Составляем уравнение:
60 / (x + + 8 = 60 / x - Решаем уравнение; Перенесем 8 в правую часть:
60 / (x + = 60 / x ⏤ 8
Приведем правую часть к общему знаменателю:
60 / (x + = (60 — 8x) / x - Применяем свойство пропорции:
60x = (60 ⏤ 8x)(x +
60x = 60x + 480 ⏤ 8x² ⏤ 64x
Сокращаем 60x с обеих сторон:
0 = 480 ⏤ 8x² ⏤ 64x
Делим все на -8:
x² + 8x ⏤ 60 = 0 - Решаем квадратное уравнение (по теореме Виета или через дискриминант):
Корни уравнения: x₁ = -12, x₂ = 10. - Отбрасываем отрицательный корень (скорость не может быть отрицательной). Получаем x = 10 км/ч.
Ответ: Скорость мотоциклиста на пути из А в В равна 10 км/ч (как видим, несмотря на то, что в самом условии темы часто фигурирует 60 км/ч, в конкретных уравнениях скорость может быть искомой величиной).
Встречное движение и поломки
Еще один популярный тип задач — движение навстречу друг другу. Например, если мотоциклист выехал из города А в город В, а через некоторое время навстречу ему выехал второй мотоциклист. В таких задачах важно помнить, что при движении навстречу друг другу их скорости складываются.
Если же в условии появляется поломка (например, «из-за поломки скорость первого мотоциклиста на обратном пути уменьшилась в 3 раза по сравнению с первоначальной»), важно четко разделить путь на участки: до поломки и после нее, пересчитав скорость для второго отрезка.
Главные правила для успешного решения
Чтобы любые задачи на движение давались легко, соблюдайте следующие принципы:
- Всегда делайте рисунок или схему. Отметьте города (точки А и В), направление движения стрелками, подпишите скорости и расстояния.
- Следите за единицами измерения. Как было показано в первой задаче, 10 м/с и 10 км/ч, это совершенно разные величины. Всегда переводите данные в одну систему (обычно км/ч).
- Не путайте среднюю скорость со средним арифметическим. В 90% случаев средняя скорость на двух равных отрезках пути не равна полусумме скоростей.
- Составляйте уравнение через время. Чаще всего именно время (или его разница) является связующим звеном между участками пути.
Фраза «Из одного города в другой мотоциклист двигался со скоростью 60 км/ч» — это лишь начало увлекательного математического сюжета. За этой простой констатацией факта могут скрываться остановки, поломки, встречные потоки и сложные уравнения. Понимание базовых формул и аккуратная работа с единицами измерения позволят вам с легкостью решать любые текстовые задачи на движение!