Задачи на движение по воде — классический раздел математики, который регулярно встречается в заданиях ОГЭ и ЕГЭ. Одной из самых популярных и типичных задач является та, где расстояние между пристанями А и В равно 48 км, и по течению реки за определенное время отправляется судно. В этой статье мы подробно разберем, как правильно составлять уравнения и находить неизвестные скорости, используя предоставленные условия.

Основные правила решения задач на движение по реке

Прежде чем переходить к решению конкретных примеров, необходимо запомнить базовые формулы. Главное правило при решении таких задач, правильное определение скорости судна относительно воды и берега:

• Скорость по течению реки: V_{по теч} = V_собств + V_теч
• Скорость против течения реки: V_{пр теч} = V_собств ⏤ V_теч
• Скорость плота: V_плота = V_теч (так как плот не имеет собственной скорости и движется исключительно со скоростью воды)

Расстояние всегда вычисляется по формуле: S = V × t, где S — расстояние (в нашем случае часто равно 48 км), V — скорость, t — время.

Задача №1: Теплоход с длительной стоянкой

Рассмотрим первую классическую задачу с заданным расстоянием 48 км.

Условие задачи:

Расстояние между пристанями А и В равно 48 км. Отчалив от пристани А в 10 часов утра, теплоход проплыл по течению реки с постоянной скоростью до пристани В. После трехчасовой стоянки у пристани В теплоход отправился в обратный рейс и прибыл в А в тот же день в 22:00. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Решение:

1. Определим общее время в пути.
   Теплоход вышел из А в 10:00, а вернулся в 22:00. Общее время, затраченное на весь рейс, составляет: 22 ‒ 10 = 12 часов.

2. Вычислим время движения.
   Из 12 часов 3 часа теплоход стоял у пристани В. Значит, чистое время в пути (туда и обратно) равно: 12 ‒ 3 = 9 часов.

3. Составим уравнение.
   Пусть x км/ч — собственная скорость теплохода (скорость в неподвижной воде).
   Тогда скорость по течению реки: (x + 2) км/ч.
   Скорость против течения реки: (x ⏤ 2) км/ч.

   Время движения по течению: 48 / (x + 2) часов.
   Время движения против течения: 48 / (x ⏤ 2) часов.

   Сумма этих времен равна 9 часам. Составляем уравнение:

   48 / (x + 2) + 48 / (x ⏤ 2) = 9

4. Решим уравнение.
   Умножим обе части уравнения на (x + 2)(x ‒ 2), при условии, что x > 2:

   48(x ⏤ 2) + 48(x + 2) = 9(x² ‒ 4)

   48x ⏤ 96 + 48x + 96 = 9x² ‒ 36

   96x = 9x² ‒ 36

   Перенесем все в одну сторону и разделим на 9:

   9x² ‒ 96x ‒ 36 = 0 | : 9

   x² ‒ (32/3)x ‒ 4 = 0

   Для удобства избавимся от дробей, умножив на 3:

   3x² ⏤ 32x ‒ 12 = 0

   Найдем дискриминант: D = (-32)² ⏤ 4 × 3 × (-12) = 1024 + 144 = 1168. (Примечание: в типовых задачах ОГЭ часто встречается опечатка в условии, и стоянка составляет 1 час, либо время прибытия — 20:00, что дает красивый ответ. Если бы в пути он был 8 часов, уравнение 48/(x+2) + 48/(x-2) = 8 дало бы D=1600 и корень x=6). В нашем текущем уравнении корень составит примерно 11.1 км/ч, что математически верно, но на практике стоит перепроверить исходные цифры на экзамене.

Задача №2: Плот и моторная лодка

Вторая популярная вариация задачи, где фигурирует плот, не имеющий собственной скорости.

Расстояние между пристанями А и В равно 48 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К моменту возвращения лодки в А плот проплыл 24 км. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость лодки равна 20 км/ч.

1. Определим скорости участников движения.
   Скорость плота равна скорости течения: V_плота = V_теч = y км/ч.
   Скорость лодки по течению: 20 + y км/ч.
   Скорость лодки против течения: 20 ⏤ y км/ч.

2. Выразим время движения лодки.
   Время лодки по течению из А в В: 48 / (20 + y) часов.
   Время лодки против течения из В в А: 48 / (20 ‒ y) часов.
   Общее время лодки в пути: t_лодки = 48 / (20 + y) + 48 / (20 ‒ y).

3. Составим уравнение с учетом времени плота.
   Плот находился в пути на 1 час дольше лодки (так как он отплыл на час раньше).
   Плот проплыл 24 км, значит, время плота: t_плота = 24 / y часов.
   Следовательно: t_плота = t_лодки + 1.

   24 / y = 48 / (20 + y) + 48 / (20 ⏤ y) + 1

4. Решим уравнение.
   Приведем правую часть к общему знаменателю (400 ‒ y²):
   48(20 ⏤ y) + 48(20 + y) = 960 + 960 = 1920
   Тогда: 24 / y = 1920 / (400 ⏤ y²) + 1
   24 / y = (1920 + 400 ‒ y²) / (400 ‒ y²)
   24 / y = (2320 ‒ y²) / (400 ‒ y²)
   Перемножаем крест-накрест:
   24(400 ‒ y²) = y(2320 ⏤ y²)
   9600 ‒ 24y² = 2320y ⏤ y³
   y³ ⏤ 24y² ⏤ 2320y + 9600 = 0

   Решая данное кубическое уравнение подбором рациональных корней, находим, что y = 4. Проверка: 24/4 = 6 часов (время плота). Время лодки: 48/24 + 48/16 = 2 + 3 = 5 часов. Разница во времени ровно 1 час. Условие выполнено.

Ответ: скорость течения реки равна 4 км/ч.

Задачи, где расстояние между пристанями А и В равно 48 км, могут иметь множество вариаций: с плотами, яхтами, стоянками и встречным движением. Однако ключ к их решению всегда одинаковый — грамотное составление таблицы скоростей-времен-расстояний и правильное определение связи между временем разных объектов. Внимательно читайте условие, обращайте особое внимание на то, кто когда отчалил, и всегда проверяйте полученный корень уравнения, чтобы скорость не оказалась меньше скорости течения реки.