Фраза «В полдень от пристани отошел теплоход через 3 часа со скоростью 16 км/ч» — это классическая формулировка из обширного мира текстовых задач на движение по воде․ Такие задания регулярно встречаются в экзаменационных вариантах ЕГЭ по математике (профильный уровень, задача №11)․ Несмотря на кажущуюся простоту, они требуют внимательности, умения составлять уравнения и четко понимать разницу между движением по течению и против него․
В данной статье мы подробно разберем концепцию подобных задач, вспомним необходимые формулы и шаг за шагом решим типичный пример, основанный на предоставленных данных․
Основные понятия и формулы
Прежде чем переходить к решению, необходимо усвоить базовые правила движения по реке:
- Собственная скорость теплохода (скорость в неподвижной воде) — это скорость судна в стоячей воде, без учета влияния реки․
- Скорость течения реки — это скорость перемещения воды в реке․
- Скорость по течению, это сумма собственной скорости и скорости течения:
Vпо теч = Vсобств + Vтеч - Скорость против течения — это разность собственной скорости и скорости течения:
Vпр теч = Vсобств ౼ Vтеч
Также всегда помним главную формулу пути: S = V * t, где S — расстояние, V, скорость, t — время․
Условие задачи
Рассмотрим классическую задачу, данные для которой часто встречаются в подобных заданиях:
Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 16 км/ч, проходит по течению реки некоторое расстояние и после стоянки возвращается в исходный пункт․ Скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 30 часов после отплытия из него․ Сколько километров прошёл теплоход за весь рейс?
Пошаговое решение
Шаг 1․ Определение скоростей по и против течения
Из условия нам известна собственная скорость теплохода и скорость течения․ Найдем скорости движения:
- Скорость по течению: 16 + 4 = 20 км/ч
- Скорость против течения: 16 ⎼ 4 = 12 км/ч
Шаг 2․ Определение времени в пути
Теплоход отсутствовал в пункте отправления 30 часов․ Однако, не все это время он находился в движении․ Часть времени он стоял на стоянке․
Найдем чистое время движения:
30 часов (всего) ౼ 5 часов (стоянка) = 25 часов
Таким образом, теплоход плыл по течению и против течения в сумме 25 часов․
Шаг 3․ Составление уравнения
Пусть S — это расстояние в километрах, которое теплоход прошел по течению реки (от пристани до места стоянки)․ Обратный путь против течения равен тому же расстоянию S․
Выразим время движения на каждом участке:
- Время по течению: t1 = S / 20
- Время против течения: t2 = S / 12
Сумма этих времен равна общему времени движения (25 часов)․ Составим и решим уравнение:
S/20 + S/12 = 25
Шаг 4․ Решение уравнения
Приведем дроби к общему знаменателю․ Наименьший общий знаменатель для 20 и 12 равен 60․
3S/60 + 5S/60 = 25
Сложим дроби:
8S/60 = 25
Сократим дробь 8/60 на 4:
2S/15 = 25
Найдем S:
2S = 25 * 15
2S = 375
S = 187,5 км
Итак, расстояние в одну сторону составляет 187,5 км․
Шаг 5․ Ответ на вопрос задачи
Внимательно читаем вопрос: «Сколько километров прошёл теплоход за весь рейс?»
За весь рейс теплоход совершил путь туда и обратно․ Следовательно, пройденное расстояние нужно удвоить:
Sобщ = 187,5 * 2 = 375 км
Альтернативный вариант условия
Иногда в подобных задачах меняются исходные данные․ Например, если бы скорость течения составляла не 4 км/ч, а 3 км/ч, а время возвращения равнялось бы 53 часам (при стоянке в 5 часов), решение выглядело бы так:
- Скорость по течению: 16 + 3 = 19 км/ч
- Скорость против течения: 16 ౼ 3 = 13 км/ч
- Время в пути: 53 ⎼ 5 = 48 часов
- Уравнение: S/19 + S/13 = 48
- Общий знаменатель 247: 13S/247 + 19S/247 = 48
- 32S/247 = 48
- S = (48 * 247) / 32 = 370,5 км (путь в одну сторону)
- Общий путь: 370,5 * 2 = 741 км
Задачи на движение по воде требуют предельной концентрации на деталях․ Фраза о том, что в полдень от пристани отошел теплоход, служит лишь красивым обрамлением строгих математических условий․ Главное правило при решении таких задач, всегда выделять время стоянки из общего времени рейса и помнить, что путь «туда» и «обратно» одинаков, а вот скорости — разные; Тщательная проверка каждого вычислительного шага поможет избежать обидных ошибок на экзамене․