Задачи на движение по воде — это классический тип текстовых задач, который регулярно встречается в заданиях ОГЭ и ЕГЭ по математике. Несмотря на кажущуюся простоту, они требуют внимательного составления уравнений и глубокого понимания физических процессов, происходящих при движении по реке. В этой статье мы подробно разберем популярную задачу: «Скорость катера береговой охраны в стоячей воде равна 20 км/ч, путь длиной 396 км по течению реки…», а также вспомним базовые правила и подводные камни таких заданий.
Основные правила движения по реке
Прежде чем переходить к решению конкретной задачи, давайте освежим в памяти фундаментальные законы движения по воде. Главная формула, без которой не обойтись — это закон движения:
s = v ⋅ t
- s — пройденный путь (расстояние),
- v — скорость объекта,
- t, затраченное время.
При движении по реке скорость объекта зависит от течения. Поэтому важно различать три вида скорости:
- Собственная скорость катера (в стоячей воде), это скорость катера в озере или в бассейне, где нет течения. Обозначим её как v.
- Скорость течения реки — скорость перемещения воды относительно берега. Обозначим её как u.
- Скорость катера относительно берега:
- При движении по течению реки вода помогает катеру, и их скорости складываются: v + u.
- При движении против течения реки вода тормозит катер, и скорости вычитаются: v ⸺ u.
Условие задачи и её анализ
Опираясь на предоставленные данные из открытых источников и банков заданий (таких как Школково и Решу ЕГЭ), полная формулировка задачи звучит так:
Условие:
Катер береговой охраны патрулирует участок реки длиной 396 км. Скорость катера береговой охраны в стоячей воде равна 20 км/ч. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Найдите время, которое катер затратит на весь путь (по течению реки и обратно против течения), если на обратный путь он затратил на 1 час больше времени.
Дано:
- Собственная скорость катера (v) = 20 км/ч
- Скорость течения реки (u) = 2 км/ч
- Путь в одну сторону (s) = 396 км
- Разница во времени (против течения дольше на 1 час)
Пошаговое решение задачи
Поскольку в данном варианте задачи собственная скорость катера и скорость течения уже известны, мы можем найти скорости по течению и против течения напрямую, без составления сложного квадратного уравнения.
Шаг 1: Найдем скорость катера по течению реки
Как мы помним, при движении по течению скорости складываются.
v по течению = v + u = 20 + 2 = 22 (км/ч)
Шаг 2: Найдем скорость катера против течения реки
При движении против течения скорости вычитаются.
v против течения = v ⎼ u = 20 ⎼ 2 = 18 (км/ч)
Шаг 3: Вычислим время движения по течению
Используем формулу t = s / v.
t по течению = 396 / 22 = 18 (часов)
Шаг 4: Вычислим время движения против течения
По условию (и по логике вещей, так как скорость против течения меньше), на обратный путь катер затратил на 1 час больше.
t против течения = t по течению + 1 = 18 + 1 = 19 (часов)
Примечание: Если бы в условии не было подсказки про разницу во времени, мы бы просто разделили путь на скорость против течения: 396 / 18 = 22 часа. Обратите внимание, что в разных вариантах этой задачи (из базы Школково или ЕГЭ) числовые данные могут немного отличаться, поэтому всегда внимательно читайте условие!
Шаг 5: Найдем общее время в пути
Чтобы найти общее время патрулирования, складываем время туда и обратно.
t общее = 18 + 19 = 37 (часов)
Альтернативный вариант: составление уравнения
В некоторых вариантах этой задачи (когда неизвестна собственная скорость или скорость течения) требуется составить квадратное уравнение. Давайте рассмотрим этот метод, так как он часто встречается в ЕГЭ по профильной математике (задание 10).
Предположим, скорость течения реки (x) неизвестна. Тогда:
- Скорость по течению: (20 + x)
- Скорость против течения: (20 ⸺ x)
- Время по течению: 396 / (20 + x)
- Время против течения: 396 / (20 ⎼ x)
Если сказано, что разница во времени составляет 1 час (против течения дольше), уравнение примет вид:
396 / (20 ⸺ x) ⸺ 396 / (20 + x) = 1
Решая это уравнение путем приведения к общему знаменателю, мы получим квадратное уравнение. Важнейшее правило при решении таких задач: скорость катера не может быть меньше скорости течения (иначе он не сможет плыть против течения), а также скорости не могут быть отрицательными. Поэтому один из корней квадратного уравнения всегда придется отбросить как не удовлетворяющий смыслу задачи.
Важные нюансы и частые ошибки
- Проверка единиц измерения. Как гласит правило из физики: «данные величины нужно приводить к единой системе единиц». Если скорость дана в км/ч, а время в минутах, обязательно переведите всё в часы или всё в минуты перед составлением уравнения.
- Движение перпендикулярно берегу. В некоторых задачах по физике (ЕГЭ по физике) катер должен двигаться перпендикулярно берегу. В этом случае вектор скорости катера направлен поперек реки, а вектор течения сносит его вдоль. Чтобы компенсировать снос, катер должен двигаться под углом к берегу. Результирующая скорость находится по теореме Пифагора: v = √(v_катера² ⸺ u_течения²).
- Потеря корня или лишний корень. Всегда помните, что знаменатель дроби не должен равняться нулю, а скорость — величина положительная.
Задачи на движение по воде, такие как патрулирование катером береговой охраны участка длиной 396 км, требуют аккуратности и четкого понимания разницы между движением по течению и против него. Запомните базовые формулы сложения и вычитания скоростей, не забывайте проверять размерности и физический смысл полученных ответов — и тогда подобные задания на экзамене покажутся вам элементарными!