Задачи на движение по воде — это классический раздел математики, регулярно встречающийся в заданиях ОГЭ и ЕГЭ. Одним из самых популярных типов заданий является задача, где скорость катера береговой охраны в стоячей воде равна 20 км/ч. В этой статье мы подробно разберем, как правильно решать подобные задачи, составлять уравнения и находить неизвестные скорости и время.

Основные понятия: что значит «в стоячей воде»?

Прежде чем переходить к решению, необходимо четко усвоить терминологию:

• Скорость в стоячей воде (собственная скорость) — это скорость плавсредства (в нашем случае катера береговой охраны) в условиях, когда нет течения. В озере или бассейне вода «стоит», поэтому катер движется исключительно за счет собственной мощности. В наших задачах она принимается равной 20 км/ч.
• Скорость течения реки — это скорость, с которой вода перемещается по руслу реки. Обычно обозначается как v км/ч.
• Скорость по течению — собственная скорость катера плюс скорость течения. Течение «помогает» катеру, толкая его вперед.
• Скорость против течения — собственная скорость катера минус скорость течения. Течение «мешает» катеру, замедляя его движение;

Формулы движения по реке

Если собственная скорость катера береговой охраны 20 км/ч, а скорость течения реки v км/ч, то формулы выглядят следующим образом:

1. Скорость по течению: V_{по теч} = 20 + v км/ч
2. Скорость против течения: V_{пр теч} = 20 ⎼ v км/ч

Время, затраченное на путь, вычисляется по стандартной формуле: t = S / V, где S — расстояние, V — скорость.

Разбор классической задачи ОГЭ

Условие задачи:

Катер, развивающий в стоячей воде скорость 20 км/ч, прошёл 36 км против течения реки и 22 км по течению, затратив на весь путь 3 часа. Найдите скорость течения реки.

Решение:

Обозначим скорость течения реки как v км/ч.

Выразим скорости движения катера:

• Скорость против течения: (20 ─ v) км/ч
• Скорость по течению: (20 + v) км/ч

Вычислим время, затраченное на каждый отрезок пути:

• Время против течения: t₁ = 36 / (20 ⎼ v) часов
• Время по течению: t₂ = 22 / (20 + v) часов

Составим уравнение, зная, что суммарное время равно 3 часам:

36 / (20 ⎼ v) + 22 / (20 + v) = 3

Решим это рациональное уравнение. Приведем левую часть к общему знаменателю (20 ⎼ v)(20 + v):

(36 * (20 + v) + 22 * (20 ─ v)) / (400 ⎼ v²) = 3

Раскроем скобки в числителе:

720 + 36v + 440 ⎼ 22v = 3 * (400 ⎼ v²)

1160 + 14v = 1200 ─ 3v²

Перенесем все в левую часть:

3v² + 14v ⎼ 40 = 0

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

D = 14² ─ 4 * 3 * (-40) = 196 + 480 = 676

Корень из D = 26

v₁ = (-14 + 26) / 6 = 12 / 6 = 2

v₂ = (-14 ─ 26) / 6 = -40 / 6 (не удовлетворяет условию, так как скорость не может быть отрицательной)

Ответ: скорость течения реки равна 2 км/ч.

Задача на патрулирование длинного участка

Катер береговой охраны патрулирует участок реки длиной 396 км. Скорость катера в стоячей воде равна 20 км/ч, скорость течения реки — 2 км/ч. Сколько времени займет патрулирование туда и обратно?

Найдем скорости катера по течению и против течения:

• V_{по теч} = 20 + 2 = 22 км/ч
• V_{пр теч} = 20 ─ 2 = 18 км/ч

Найдем время движения по течению:

t₁ = 396 / 22 = 18 часов

Найдем время движения против течения:

t₂ = 396 / 18 = 22 часа

Общее время:

t = 18 + 22 = 40 часов.

Ответ: патрулирование займет 40 часов.

Важные нюансы при решении

Чтобы избежать ошибок при решении текстовых задач на движение по воде, всегда помните о следующих правилах:

1. Скорость не может быть отрицательной. Если при решении квадратного уравнения вы получаете отрицательный корень (например, -21 км/ч), смело его отбрасывайте — он не имеет физического смысла.
2. Скорость катера против течения не может быть меньше нуля. Если скорость течения реки окажется больше 20 км/ч, то катер просто не сможет плыть против течения (его будет сносить назад). В задачах с заданной собственной скоростью 20 км/ч скорость течения всегда будет меньше 20.
3. Проверяйте размерность. Убедитесь, что расстояние указано в километрах, а время — в часах, чтобы скорость действительно получалась в км/ч.
4. Не путайте среднюю скорость со средней арифметической. Средняя скорость на всем пути вычисляется как отношение всего пройденного расстояния к общему времени, а не как (V_{по теч} + V_{пр теч}) / 2.

Задачи, где скорость катера береговой охраны в стоячей воде равна 20 км/ч — это отличный тренажер для отработки навыков составления и решения рациональных уравнений. Главное — правильно определить направление движения (по течению или против), выразить скорости через неизвестную переменную v и корректно составить уравнение на основе данных о времени или расстоянии. Практика решения подобных задач гарантирует успешное выполнение соответствующих заданий на экзаменах по математике.