Задачи на движение по воде, классический раздел математики, с которым сталкиваются школьники на ОГЭ и ЕГЭ. Одной из самых распространенных и базовых ситуаций в таких задачах является условие: «скорость катера в стоячей воде 15 км/ч, на путь от пристани…». Что это значит, как правильно составить математическую модель и решить типовые задачи, мы подробно разберем в этой статье.

Основные понятия: что такое «скорость в стоячей воде»?

Прежде чем приступать к решению, необходимо четко усвоить терминологию:

• Скорость катера в стоячей воде (часто ее называют собственной скоростью катера), это скорость судна в озере или бассейне, где вода неподвижна. В нашем случае она равна 15 км/ч.
• Скорость течения реки — это скорость перемещения массы воды в реке. Обозначается обычно как v теч.
• Скорость по течению — когда катер плывет по направлению движения воды, вода ему «помогает». Скорости складываются: V по теч. = V собств. + V теч.
• Скорость против течения, когда катер плывет навстречу потоку воды, течение его «тормозит». Скорости вычитаются: V против теч. = V собств. ‒ V теч.

Если собственная скорость равна 15 км/ч, а скорость течения (для примера) равна 2 км/ч, то:

1. По течению катер пойдет со скоростью: 15 + 2 = 17 км/ч.
2. Против течения катер пойдет со скоростью: 15 ― 2 = 13 км/ч.

Разбор типовых задач с условием V = 15 км/ч

Рассмотрим несколько классических сценариев, которые встречаются в учебниках и на экзаменах.

Сценарий 1: Путь от пристани до пристани по течению и против течения

Условие задачи: Катер, имеющий собственную скорость 15 км/ч, проплыл 2 ч по течению реки и 3 ч против течения. Какое расстояние он проплыл за это время, если скорость течения реки составляет 2 км/ч?

Решение:

1. Найдем скорость катера по течению: 15 + 2 = 17 (км/ч)
2. Найдем скорость катера против течения: 15 ― 2 = 13 (км/ч)
3. Вычислим расстояние, пройденное по течению: 17 × 2 = 34 (км)
4. Вычислим расстояние, пройденное против течения: 13 × 3 = 39 (км)
5. Найдем общее расстояние: 34 + 39 = 73 (км)

Ответ: 73 км.

Сценарий 2: Нахождение скорости течения (ЕГЭ/ОГЭ)

Условие задачи: Собственная скорость катера равна 15 км/ч. Он прошел от пристани А до пристани Б по течению реки и вернулся обратно. Известно, что на путь по течению катер затратил 3 часа, а на путь против течения, 5 часов. Найдите скорость течения реки.

Решение:

Это задача на составление уравнения. Главный принцип задач на движение туда и обратно: расстояние по течению равно расстоянию против течения.

1. Пусть х км/ч — скорость течения реки.
2. Тогда скорость по течению: (15 + х) км/ч.
3. Скорость против течения: (15 ‒ х) км/ч.
4. Расстояние по течению: 3 × (15 + х) км.
5. Расстояние против течения: 5 × (15 ― х) км.
6. Приравниваем расстояния: 3 × (15 + х) = 5 × (15 ‒ х)
7. Раскрываем скобки: 45 + 3х = 75 ‒ 5х
8. Переносим неизвестные в одну сторону, числа — в другую: 3х + 5х = 75 ― 45
9. Упрощаем: 8х = 30
10. Находим х: х = 30 / 8 = 3,75 (км/ч)

Ответ: скорость течения реки равна 3,75 км/ч.

Сценарий 3: Движение на озере (в стоячей воде)

Условие задачи: От пристани на озере отправился катер со скоростью 15 км/ч. Он прошел до другой пристани расстояние в 90 км и вернулся обратно. Сколько времени занял весь путь?

Решение:

Озеро — это водоем со стоячей водой. Здесь нет течения, поэтому скорость катера не меняется в зависимости от направления.

1. Время на путь до пристани: 90 / 15 = 6 (часов)
2. Время на путь обратно: 90 / 15 = 6 (часов)
3. Общее время: 6 + 6 = 12 (часов)

Ответ: 12 часов.

Алгоритм решения любых задач на движение от пристани

Чтобы не путаться в задачах подобного типа, рекомендуем придерживаться следующего плана:

• Шаг 1. Внимательно прочитайте условие. Выясните, где происходит движение: в реке (есть течение) или в озере (стоячая вода).
• Шаг 2. Обозначьте неизвестную величину за х (если она есть). Чаще всего это скорость течения или собственная скорость.
• Шаг 3. Выразите скорости «по течению» и «против течения» через известные данные и переменную х.
• Шаг 4. Запишите формулу расстояния для каждого отрезка пути: S = V × t.
• Шаг 5. Составьте уравнение. Самый надежный способ, приравнять расстояния (путь от пристани А до Б равен пути от Б до А). Либо используйте данные о суммарном времени.
• Шаг 6. Решите уравнение и обязательно сделайте проверку, подставив ответ в условие задачи.

Фраза «скорость катера в стоячей воде 15 км/ч на путь от пристани», это лишь стартовое условие, открывающее простор для составления уравнений. Главное правило, которое нужно запомнить: собственная скорость всегда увеличивается на скорость течения при движении по течению и уменьшается при движении против. Умение правильно составить табличку «скорость-время-расстояние» и приравнять пройденные пути гарантирует успешное решение любой, даже самой сложной задачи на движение по воде!