Задачи на движение по воде — это классика школьной математики, которая часто встречается как в базовом курсе, так и в экзаменационных заданиях (например, в ЕГЭ). Фраза «От одной пристани отплыл в 11 ч ночи теплоход» является началом одной из самых известных задач на встречное движение. В этой статье мы подробно разберем эту задачу, а также рассмотрим смежные типы заданий, где теплоходы идут по течению и против него, совершают стоянки и возвращаются в пункт отправления.
Задача 1: Встречное движение теплоходов
Рассмотрим классическую формулировку, которая наиболее часто встречается в учебниках:
От одной пристани отплыл в 11 ч ночи теплоход, проходивший по 25 км/ч, а от другой пристани навстречу ему в 3 ч следующего утра вышел другой теплоход, проходивший по 27 км/ч. Расстояние между пристанями 360 км. Через сколько часов после отплытия второго теплохода они встретятся?
Решение по шагам:
- Определим время опережения. Первому теплоходу нужно вычислить, сколько он находился в пути один, до момента выхода второго.
- С 11 часов ночи до 12 часов (полуночи) прошел 1 час.
- С 12 часов ночи до 3 часов утра прошло еще 3 часа.
- Вычислим расстояние, пройденное первым теплоходом до 3 часов утра.
Умножим его скорость на время в пути: 25 км/ч × 4 ч = 100 км.
- Найдем оставшееся расстояние.
Из общего расстояния между пристанями вычтем то, что уже прошел первый теплоход: 360 км ౼ 100 км = 260 км.
- Определим скорость сближения.
Поскольку теплоходы двигались навстречу друг другу, их скорости складываются: 25 км/ч + 27 км/ч = 52 км/ч.
- Рассчитаем время до встречи.
Разделим оставшееся расстояние на скорость сближения: 260 км / 52 км/ч = 5 часов.
Ответ: Второй теплоход встретится с первым через 5 часов после своего отплытия.
Задача 2: Движение по реке с остановкой и возвращением
Более сложный вариант задач подразумевает учет скорости течения реки, стоянки и возвращение в исходную точку. Подобные задания регулярно встречаются в профильном ЕГЭ по математике.
Теплоход плыл из города А в город В. Его скорость в неподвижной воде составляет 12 км/ч. В городе В он сделал остановку на 5 часов, после чего поплыл обратно. Скорость течения реки, 2 км/ч. В город А теплоход вернулся через 29 часов после отплытия из него. Найдите расстояние между городами.
Анализ условия и решение:
- Найдем время, затраченное непосредственно на движение.
Из общих 29 часов вычтем время стоянки: 29 ч ー 5 ч = 24 часа теплоход находился в пути туда и обратно.
- Определим скорости по течению и против течения.
- Скорость по течению (из А в В): 12 + 2 = 14 км/ч.
- Скорость против течения (из В в А): 12 ー 2 = 10 км/ч.
- Составим уравнение.
Пусть S — расстояние между городами. Время пути по течению: S/14. Время пути против течения: S/10.
Сумма этих времен равна 24 часам:
S/14 + S/10 = 24
- Решим уравнение.
Приведем к общему знаменателю (70):
5S/70 + 7S/70 = 24
12S/70 = 24
12S = 24 × 70
12S = 1680
S = 140 км.
Ответ: Расстояние между городами составляет 140 км.
Задача 3: Нахождение собственной скорости теплохода
Иногда искомой величиной выступает не расстояние и не время, а сама скорость теплохода в неподвижной воде.
Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 8 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 14 часов после отплытия из него. Расстояние между пристанями равно 96 км.
Решение:
- Время в пути: 14 ч (общее время) ౼ 8 ч (стоянка) = 6 часов.
- Пусть х — собственная скорость теплохода. Тогда:
- Скорость по течению: х + 4
- Скорость против течения: х ౼ 4
- Составим уравнение:
96/(х + 4) + 96/(х ー 4) = 6
- Решаем уравнение:
Разделим обе части на 6:
16/(х + 4) + 16/(х ー 4) = 1
Умножим обе части на общий знаменатель (х + 4)(х ー 4), при условии, что х ≠ 4 и х ≠ -4:
16(х ౼ 4) + 16(х + 4) = х² ー 16
16х ー 64 + 16х + 64 = х² ー 16
32х = х² ౼ 16
х² ౼ 32х ー 16 = 0
Решая квадратное уравнение, получаем корни: х1 ≈ 32.5 и х2 (отрицательный, не подходит по смыслу).
(Примечание: в типовых экзаменационных задачах числа обычно подбираются так, чтобы корень был целым. Например, при расстоянии 80 км уравнение даст целую скорость 20 км/ч, однако мы решили пример с указанными в условии цифрами для демонстрации алгоритма).
Главные правила решения задач на движение по воде
- Скорость по течению = Собственная скорость + Скорость течения.
- Скорость против течения = Собственная скорость ー Скорость течения.
- Внимательно считайте время! Переход через полночь (как в первой задаче с 11 ч ночи до 3 ч утра) часто становится ловушкой. Помните, что в сутках 24 часа.
- Не забывайте вычитать стоянку. Общее время, данное в задаче, обычно включает и движение, и стоянку. Для составления уравнения нужно время чистого движения.
- Проверяйте единицы измерения. Все расстояния должны быть в одних единицах (например, км), а все времена — в часах.
Задачи на движение могут показаться запутанными из-за обилия условий, однако системный подход — определение скоростей, вычисление времени и составление табличного уравнения, делает их решение простым и понятным.