Задачи на движение – один из самых популярных и одновременно сложных разделов школьной математики. Они требуют умения работать с тремя взаимосвязанными величинами: расстоянием (S), временем (t) и скоростью (v). В этой статье мы подробно разберём типичную задачу, где таксист едет из города в деревню, а затем возвращается в город со скоростью, превышающей исходную на 25 км/ч.
Формулировка задачи
В типичном варианте условие звучит так:
Таксист проезжает из города в деревню со скоростью v км/ч. На обратном пути он едет со скоростью, большей на 25 км/ч, то есть v + 25 км/ч. Расстояние между городом и деревней равно d километров. Сколько времени займет весь путь (туда и обратно) и какова будет средняя скорость таксиста за весь путь?
В задаче могут быть дополнительные вопросы, например: «Сколько времени таксист проведёт в пути, если известны только v и d», или «При каком значении v общее время будет меньше 4 часов». Ниже рассмотрим базовый вариант и несколько типовых модификаций.
Основные формулы
- Время движения рассчитывается по формуле
t = S / v, где S – пройденный путь, v – скорость. - Средняя скорость за весь путь (туда и обратно) определяется как
v_ср = (Общее расстояние) / (Общее время). - Если известны скорости в разных участках пути, то общее время – это сумма времен каждого участка.
Пошаговое решение базовой задачи
- Определяем известные величины:
- Скорость в путь: v км/ч;
- Скорость в обратный путь: v + 25 км/ч;
- Расстояние между пунктами: d км.
- Находим время в каждый из двух отрезков:
- Время туда: t₁ = d / v (часы);
- Время обратно: t₂ = d / (v + 25) (часы);
- Суммируем времена:
t_общ = t₁ + t₂ = d/v + d/(v + 25). - Общее пройденное расстояние:
S_общ = 2·d (два раза по d километров). - Вычисляем среднюю скорость:
v_ср = S_общ / t_общ = 2d / (d/v + d/(v + 25)).
Упрощаем дробь, умножив числитель и знаменатель на v·(v + 25):
v_ср = 2d·v·(v + 25) / [d·(v + 25) + d·v] = 2v·(v + 25) / (2v + 25).
- Общее время пути: t_общ = d/v + d/(v + 25) часов;
- Средняя скорость: v_ср = 2v·(v + 25) / (2v + 25) км/ч.
Пример расчётов
Пусть расстояние между городом и деревней d = 60 км, а скорость в путь v = 45 км/ч.
- Время туда: t₁ = 60 / 45 = 1,33… ч ≈ 1 ч 20 мин.
- Скорость обратно: v + 25 = 70 км/ч.
- Время обратно: t₂ = 60 / 70 = 0,857 ч ≈ 51 мин.
- Общее время: t_общ = 1,33 + 0,857 = 2,19 ч ≈ 2 ч 11 мин.
- Средняя скорость:
v_ср = 2·45·70 / (2·45 + 25) = 6300 / 115 ≈ 54,78 км/ч.
Вариации задачи
Задано общее время, требуется найти исходную скорость
Если известно, что весь путь (туда и обратно) занял, например, T = 3 ч, а расстояние d и разница скоростей Δv = 25 км/ч известны, то уравнение выглядит так:
d/v + d/(v + 25) = T.
Решаем относительно v (обычно получаем квадратное уравнение). Пример:
- Берём d = 80 км, T = 3 ч.
- Получаем: 80/v + 80/(v + 25) = 3.
- Умножаем на v(v + 25) и упрощаем: 80(v + 25) + 80v = 3v(v + 25).
- Получаем квадратное уравнение: 3v² + 75v – 4000 = 0.
- Решаем: v ≈ 38,2 км/ч (положительный корень).
Добавляем время простоя в деревне
Если таксист останавливается в деревне на τ минут, то общее время увеличивается на τ/60 часа. Формула становится:
t_общ = d/v + d/(v + 25) + τ/60.
Учёт разных дорог (разные расстояния)
Иногда путь в деревню отличается от пути обратно (например, из‑за объездов). Пусть d₁ – путь туда, d₂ – путь обратно. Тогда:
t_общ = d₁/v + d₂/(v + 25), а средняя скорость:
v_ср = (d₁ + d₂) / t_общ.
Частые ошибки учеников
- Смешивание единиц. Нужно следить, чтобы расстояние было в километрах, а время – в часах. Если время измеряется в минутах, его следует перевести в часы (делить на 60).
- Неправильное использование формулы средней скорости. Средняя скорость – это не просто среднее арифметическое двух скоростей, а отношение общего пути к общему времени.
- Забывание о разнице скоростей. При подстановке в формулу часто ошибаются, записывая v – 25 вместо v + 25.
- Неправильное округление. При работе с дробными часами лучше сохранять несколько знаков после запятой до финального ответа.
Полезные рекомендации для решения задач на движение
- Записывайте все известные данные. Делайте таблицу: «Скорость», «Расстояние», «Время». Это помогает не упустить ни одну величину.
- Выбирайте правильную формулу. В задачах с несколькими участками пути используйте t = S/v для каждого участка, а затем суммируйте времена.
- Проверяйте размерность. Если в ответе получилась «км·ч», значит где‑то забыли делить или умножить.
- Решайте уравнения аккуратно. При наличии неизвестной скорости часто появляется квадратное уравнение – не спешите, упростите дроби, вынесите общий множитель.
- Тестируйте полученный ответ. Подставьте найденную скорость обратно в исходные формулы, убедитесь, что полученные времена адекватны.
Связанные задачи и дальнейшее изучение
Если вам понравилась эта тема, обратите внимание на следующие типы задач:
- Задачи о встречном движении двух транспортных средств (пример из Российской электронной школы).
- Задачи о протяжённых телах (поезда, конвейеры) и сложении скоростей;
- Текстовые задачи с несколькими остановками и изменением скорости (пример из Методики решения задач на движение).
- Задачи на среднюю скорость при разных участках пути (часто встречаются в ЕГЭ).
Задача о таксисте, который возвращается со скоростью на 25 км/ч большей, чем он ехал в деревню, иллюстрирует основные принципы работы с формулами движения. Правильный подход состоит в том, чтобы разбить путь на отдельные участки, вычислить время каждого из них, а затем объединить результаты. При этом важно помнить, что средняя скорость – это отношение общего пути к общему времени, а не простое среднее арифметическое скоростей.
Освоив эту схему, вы сможете уверенно решать более сложные задачи, включающие несколько участков, остановки, различную длину маршрутов и даже изменение направления движения.