Задачи на движение — один из самых важных и интересных разделов математики. Они развивают логику, внимательность и умение работать с формулами. Одной из наиболее известных и часто встречающихся на экзаменах (ЕГЭ, ОГЭ) и олимпиадах является задача, начинающаяся со слов: «Расстояние между городами А и В равно 180 км». В этой статье мы подробно разберем самую популярную вариацию этой задачи с автомобилем и мотоциклистом, а также рассмотрим другие типы задач с такими же исходными данными.
Условие главной задачи
Итак, классическая формулировка звучит так:
Расстояние между городами А и В равно 180 км. Из города А в город В выехал автомобиль, а через 3 часа следом за ним со скоростью 90 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он вернулся в А, автомобиль прибыл в В. Найдите расстояние от А до С.
Подробный разбор решения
Эта задача может показаться запутанной из-за того, что скорость автомобиля неизвестна, а мотоциклист постоянно меняет направление. Однако, если составить правильное уравнение, решение становится изящным и понятным.
Пусть v — скорость автомобиля (в км/ч).
Пусть t — время (в часах), которое затратил мотоциклист на путь из пункта А в пункт С (до встречи с автомобилем).
Теперь проанализируем, что происходило с каждым участником движения:
- Мотоциклист: Двигался из А в С со скоростью 90 км/ч. Значит, расстояние от А до С равно 90t км. Затем он развернулся и проехал то же расстояние 90t км обратно из С в А. Таким образом, общее время мотоциклиста в пути составило 2t часов (t часов туда и t часов обратно).
- Автомобиль: Он выехал на 3 часа раньше мотоциклиста. К моменту, когда мотоциклист вернулся в А, автомобиль прибыл в В. Значит, автомобиль находился в пути ровно 2t + 3 часов (столько же, сколько мотоциклист, плюс фора в 3 часа).
Шаг 2: Составление уравнения
Мы знаем, что автомобиль за время 2t + 3 проехал все расстояние от А до В, которое равно 180 км.
Используя формулу пути (S = v * t), получаем:
v * (2t + 3) = 180
С другой стороны, автомобиль и мотоциклист встретились в пункте С. В этот момент автомобиль уже был в пути t + 3 часов (t часов, пока ехал мотоциклист, плюс 3 часа старта). И проехал он то же самое расстояние от А до С, то есть 90t км.
Получаем второе уравнение:
v * (t + 3) = 90t
Шаг 3: Решение системы уравнений
У нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:
- v * (2t + 3) = 180
- v * (t + 3) = 90t
Разделим первое уравнение на второе (левую часть на левую, правую на правую):
(v * (2t + 3)) / (v * (t + 3)) = 180 / 90t
Сокращаем v и 180/90t:
(2t + 3) / (t + 3) = 2 / t
Решаем это уравнение методом пропорции:
2t * (2t + 3) = 2 * (t + 3)
4t² + 6t = 2t + 6
4t² + 4t ⸺ 6 = 0
Разделим все на 2 для упрощения:
2t² + 2t ー 3 = 0
Решаем квадратное уравнение через дискриминант:
D = b² ー 4ac = 2² ⸺ 4 * 2 * (-3) = 4 + 24 = 28
t = (-b ± √D) / 2a = (-2 ± √28) / 4 = (-2 ± 2√7) / 4 = (-1 ± √7) / 2
Так как время не может быть отрицательным, берем только положительный корень:
t = (√7 ー 1) / 2 часов.
Шаг 4: Нахождение искомого расстояния
Нам нужно найти расстояние от А до С, которое мы выразили как 90t. Подставляем найденное значение t:
АС = 90 * (√7 ⸺ 1) / 2 = 45(√7 ー 1) км.
Ответ: Расстояние от А до С равно 45(√7 ー 1) километров.
Другие популярные задачи с расстоянием 180 км
Текст «Расстояние между городами А и В равно 180 км» является универсальным стартом для множества других задач. Вот несколько примеров:
Задача на встречное движение
Из двух городов А и В, расстояние между которыми 180 км, в 6 ч 20 мин вышли навстречу друг другу автобус и легковой автомобиль. Их встреча произошла в 7 ч 50 мин…
В таких задачах важно правильно вычислить время в пути обоих транспортных средств до момента встречи. В данном случае оно составляет 1 час 30 минут (или 1,5 часа). Зная, что они сближаются со скоростью, равной сумме их скоростей, можно составить уравнение для нахождения скоростей каждого.
Простые задачи на скорость
Расстояние между двумя городами 180 км. С какой скоростью надо ехать, чтобы преодолеть это расстояние за 1 ч? за 2 ч? за 3 ч?
Это элементарная задача на знание формулы V = S / t.
- За 1 час: 180 / 1 = 90 км/ч
- За 2 часа: 180 / 2 = 90 км/ч (кстати, именно поэтому в главной задаче скорость мотоциклиста равна 90 км/ч — он мог бы проехать весь путь за 2 часа)
- За 3 часа: 180 / 3 = 60 км/ч
Задача на сближение велосипедистов
Скорость сближения велосипедистов: 36 км/ч. При начальном расстоянии 180 км велосипедисты встретятся через…
Решение: t = S / V сближения = 180 / 36 = 5 часов.
Задачи с расстоянием 180 км между городами отлично тренируют навыки составления математических моделей реальных ситуаций. Главное правило при решении подобных задач — сделать таблицу или схему, где четко прописано: кто куда ехал, с какой скоростью, сколько времени находился в пути и какое расстояние преодолел. Удачи в изучении математики!