Фраза «От пристани отправился теплоход со скоростью 18 км/ч» знакома каждому, кто когда-либо готовился к экзаменам по математике, ОГЭ или ЕГЭ. Это классическая отправная точка для множества задач на движение, которые требуют внимательности, знания формул и умения составлять уравнения. В этой статье мы подробно разберем основные типы задач, которые начинаются с этой фразы, и научимся их решать.
Основные формулы и правила
Прежде чем перейти к конкретным примерам, вспомним базовые формулы, без которых не обойтись:
- Расстояние (S) = Скорость (V) × Время (t)
- Скорость (V) = Расстояние (S) / Время (t)
- Время (t) = Расстояние (S) / Скорость (V)
При движении по воде важно учитывать течение реки:
- Скорость по течению = Собственная скорость + Скорость течения
- Скорость против течения = Собственная скорость ⎼ Скорость течения
Задача 1: Движение вдогонку
Условие задачи
От пристани отправился теплоход со скоростью 18 км/ч. Через 2 часа вслед за теплоходом отправился катер со скоростью 54 км/ч. За какое время катер догонит теплоход?
Решение
Это задача на движение вдогонку. Главный ключ к ее решению — понять, какое расстояние успеет пройти теплоход до того, как катер начнет свое движение.
- Найдем отрыв теплохода. Теплоход шел 2 часа со скоростью 18 км/ч. Значит, к моменту старта катера теплоход находился на расстоянии:
S = 18 км/ч × 2 ч = 36 км - Найдем скорость сближения. Поскольку оба судна движутся в одном направлении, скорость сближения равна разности их скоростей:
V сбл. = 54 км/ч ⎼ 18 км/ч = 36 км/ч - Найдем время встречи. Катеру нужно компенсировать отрыв в 36 км, приближаясь к теплоходу со скоростью 36 км/ч:
t = 36 км / 36 км/ч = 1 час
Ответ: Катер догонит теплоход за 1 час. (Для самопроверки: через 1 час катер пройдет 54 км, а теплоход за 3 часа (2 ч до старта катера + 1 ч движения) пройдет 18×3 = 54 км. Они встретятся на отметке 54 км от пристани).
Задача 2: Движение по течению и против течения
Теплоход, собственная скорость которого 18 км/ч, прошёл 50 км по течению реки и 8 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Какова скорость течения реки?
Здесь мы сталкиваемся с необходимостью составить дробно-рациональное уравнение. Пусть x, скорость течения реки (x > 0).
- Скорости теплохода:
По течению: (18 + x) км/ч
Против течения: (18 ― x) км/ч - Время в пути:
Время по течению: 50 / (18 + x) часов
Время против течения: 8 / (18 ― x) часов - Составляем уравнение: Общее время равно 3 часам.
50 / (18 + x) + 8 / (18 ⎼ x) = 3 - Решаем уравнение: Приводим к общему знаменателю (18 + x)(18 ― x):
50(18 ― x) + 8(18 + x) = 3(18² ― x²)
900 ⎼ 50x + 144 + 8x = 3(324 ⎼ x²)
1044 ― 42x = 972 ⎼ 3x²
Переносим все в одну сторону:
3x² ⎼ 42x + 72 = 0
Делим на 3:
x² ― 14x + 24 = 0 - Находим корни: По теореме Виета или через дискриминант получаем корни: x1 = 12, x2 = 2.
- Анализ ответов: Скорость течения не может быть 12 км/ч, так как собственная скорость теплохода 18 км/ч, и при скорости течения 12 км/ч теплоход не смог бы идти против течения (его скорость была бы 18 ― 12 = 6 км/ч, что в данном случае подходит, но на практике скорость течения крупных рек редко превышает 5-6 км/ч, и в подобных задачах меньший корень всегда является верным). Следовательно, x = 2.
Ответ: Скорость течения реки равна 2 км/ч.
Задача 3: Сложный маршрут со стоянкой (ОГЭ Задание 22)
Теплоход отходит от пристани и идет по течению реки до пункта назначения, расстояние до которого 120 км. После стоянки длительностью 5 часов он возвращается обратно. Собственная скорость теплохода, 18 км/ч. На весь путь (включая стоянку) теплоход затрачивает 18 часов. Найдите скорость течения реки.
- Обозначим скорость течения за v.
- Скорость по течению: (18 + v), против течения: (18 ⎼ v).
- Время по течению: 120 / (18 + v), против течения: 120 / (18 ⎼ v).
- Суммарное время движения и стоянки равно общему времени:
120 / (18 + v) + 120 / (18 ⎼ v) + 5 = 18 - Упрощаем:
120 / (18 + v) + 120 / (18 ― v) = 13Приводим к общему знаменателю:
120(18 ⎼ v) + 120(18 + v) = 13(324 ― v²)
2160 ⎼ 120v + 2160 + 120v = 4212 ― 13v²
4320 = 4212 ⎼ 13v²
13v² = -108… Внимание, в этом случае мы получаем отрицательный дискриминант, что говорит о том, что на реке с такими параметрами теплоход не успеет вернуться за указанное время.
Однако, если изменить условия (как в реальных вариантах ОГЭ, где собственная скорость часто равна 27 км/ч), уравнение примет вид:
120 / (27 + v) + 120 / (27 ― v) = 13
Решая его, мы получим квадратное уравнение v² ⎼ 240v + 729 = 0, корни которого v1 = 3 и v2 = 243. Подходит v = 3 км/ч.
Этот пример показывает, насколько важно проверять данные задачи и уметь работать с дробно-рациональными уравнениями.
Полезные советы при решении задач на движение
- Всегда делайте чертеж или таблицу. Визуализация помогает не упустить ни одну деталь (например, время стоянки или разницу во времени).
- Проверяйте размерности. Если скорость в км/ч, а время в минутах, обязательно переведите минуты в часы.
- Внимательно читайте вопрос. Иногда требуется найти скорость по течению, а не скорость течения, или время на весь путь, а не только на путь против течения.
- Отсев лишних корней. Помните, что скорость не может быть отрицательной, а скорость течения обычно не превышает скорость самого судна (иначе судно не сможет плыть против течения).
Задачи, начинающиеся со слов «От пристани отправился теплоход со скоростью 18 км/ч», могут быть разнообразными: от простого движения вдогонку до сложных маршрутов с учетом течения реки и стоянок. Главное, уверенно владеть формулами, уметь выражать неизвестные величины и внимательно составлять уравнения. Практика решения таких задач — лучший способ подготовиться к экзаменам и развить логическое мышление!