Текстовые задачи на движение, это классический камень преткновения для многих школьников и абитуриентов, особенно при подготовке к ЕГЭ по математике. Одним из часто встречающихся сюжетов является задача, где таксист возвращается из деревни в город со скоростью на 25 км/ч больше (или меньше), чем он ехал туда. Почему эта задача вызывает трудности и как научиться щелкать ее как орешки? Давайте разберем всё максимально подробно.
Почему задачи на движение считаются сложными?
Как отмечают многие учителя математики, традиционно трудными для учащихся являются именно задачи на движение. Главная проблема кроется не в формулах, а в неумении правильно составить математическую модель реальной ситуации. Учащиеся часто путают понятия скорости сближения и скорости удаления, не могут грамотно выразить время через расстояние и скорость, или забывают, что средняя скорость — это не среднее арифметическое, а общее расстояние, деленное на суммарное время.
Главный секрет: формула пути и таблица
Самое главное правило, которое нужно запомнить раз и навсегда:
S = v * t (Расстояние = Скорость * Время)
Из этой скромной формулы рождаются две другие, которые и являются ключом к решению 90% задач:
- t = S / v (Время = Расстояние / Скорость)
- v = S / t (Скорость = Расстояние / Время)
Для решения задач на движение «туда-обратно» идеально подходит метод табличного моделирования. Разобьем путь на два участка: из города в деревню и обратно;
Пример решения классической задачи
Рассмотрим типовую задачу, которая может встретиться в ЕГЭ (задание №11 профильного уровня).
Условие: Расстояние от города до деревни равно 150 км. Таксист ехал из города в деревню с постоянной скоростью. Таксист возвращается из деревни в город со скоростью на 25 км/ч больше, чем ехал туда. На обратный путь он затратил на 1 час меньше. Найдите скорость таксиста на пути из города в деревню.
Шаг 1: Составление таблицы и введение переменной
Пусть x км/ч, скорость таксиста из города в деревню. Тогда скорость на обратном пути (из деревни в город) будет (x + 25) км/ч. Составим таблицу:
- Путь туда: S = 150 км, v = x км/ч, t = 150/x часов
- Путь обратно: S = 150 км, v = (x+25) км/ч, t = 150/(x+25) часов
Шаг 2: Составление уравнения
В условии сказано, что на обратный путь затрачено на 1 час меньше. Это значит, что время «туда» больше времени «обратно» на 1 час.
150/x ⎼ 150/(x+25) = 1
Шаг 3: Решение уравнения
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель x(x+25), чтобы избавится от дробей (при этом помним, что x > 0 по смыслу задачи):
150(x+25) ⸺ 150x = x(x+25)
150x + 3750 ⸺ 150x = x² + 25x
3750 = x² + 25x
x² + 25x ⎼ 3750 = 0
Решаем квадратное уравнение через дискриминант:
D = 25² ⸺ 4 * 1 * (-3750) = 625 + 15000 = 15625
√D = 125
x₁ = (-25 ⎼ 125)/2 = -75 (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной)
x₂ = (-25 + 125)/2 = 50
Шаг 4: Анализ ответа
Мы получили, что скорость из города в деревню равна 50 км/ч. Возвращаясь, таксист ехал со скоростью 50 + 25 = 75 км/ч. Проверим: 150/50 = 3 часа туда; 150/75 = 2 часа обратно. Разница ровно 1 час. Условие выполнено!
Ответ: 50 км/ч.
Ловушка средней скорости
Часто в задачах про путь между городом и деревней встречается вопрос о средней скорости. Запомните важнейшее правило: средняя скорость НЕ равна среднему арифметическому скоростей на разных участках!
Как правильно считать среднюю скорость:
Vср = Sобщ / tобщ
Если в нашей задаче мы захотим найти среднюю скорость таксиста за всю поездку, расчет будет таким:
- Общее расстояние: 150 + 150 = 300 км
- Общее время: 3 + 2 = 5 часов
- Средняя скорость: 300 / 5 = 60 км/ч
Обратите внимание: (50 + 75) / 2 = 62,5 км/ч. Это среднее арифметическое, и это неверный ответ! Правильная средняя скорость — 60 км/ч.
Полезные советы для подготовки к ЕГЭ
Чтобы задачи на движение не вызывали паники, следуйте этим рекомендациям:
- Всегда рисуйте схему. Чертите прямую линию, отмечайте город, деревню, стрелочки скоростей. Визуализация работает лучше любой абстракции.
- Составляйте таблицу. Три колонки (S, v, t) спасут вас от путаницы в переменных.
- Проверяйте размерность. Если расстояние в километрах, а время в часах, скорость должна получаться в км/ч. Если время дано в минутах — обязательно переводите в часы!
- Не забывайте про ОДЗ. Скорость не может быть отрицательной, а знаменатель не может быть равен нулю. Отбрасывайте лишние корни квадратного уравнения, опираясь на здравый смысл.
Задачи, где таксист или любой другой путешественник возвращается из деревни в город с другой скоростью,, это отличный тренажер для развития логики. Практикуйтесь, решайте различные варианты из открытых баз ЕГЭ, и вы обязательно добьетесь успеха!