Текстовые задачи на движение — классический раздел математики, с которым школьники сталкиваются при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ. Одной из самых распространенных и важных тем является движение в одном направлении (задачи «вдогонку» и с отставанием), а также специфика движения поездов, где необходимо учитывать длину самого состава.
В данной статье мы подробно разберем классическую постановку задачи: «Из одного города в одном направлении вышли 2 поезда, скорость первого, 60 км/ч», научимся правильно составлять уравнения и разберем типичные ошибки.
Теоретическая база: главные формулы
Прежде чем переходить к решению, необходимо вспомнить три фундаментальные формулы кинематики:
- S = V × t — пройденное расстояние равно произведению скорости на время.
- V = S / t — скорость равна отношению расстояния ко времени.
- t = S / V — время равно отношению расстояния к скорости.
При движении объектов в одном направлении ключевым понятием является скорость сближения или скорость удаления. Она равна модулю разности скоростей двух объектов: |V₁ ー V₂|.
Разбор базовой задачи: движение вдогонку
Рассмотрим классическую задачу, фрагмент которой часто встречается в экзаменах.
Условие задачи
Из одного города в одном направлении вышли 2 поезда. Скорость первого поезда — 60 км/ч, а скорость второго, 75 км/ч. Второй поезд вышел на 2 часа позже первого. Через сколько часов после своего отправления второй поезд догонит первый?
Решение
- Определение типа движения: Поезда движутся в одном направлении, причем второй идет быстрее (75 > 60), значит, он будет догонять первого. Это задача на движение вдогонку.
- Нахождение скорости сближения: Поскольку поезда идут в одном направлении, скорость сближения равна разности их скоростей:
Vсбл = V₂ ー V₁ = 75 ⏤ 60 = 15 (км/ч). Это значит, что каждый час второй поезд приближается к первому на 15 км. - Определение начального расстояния: Второй поезд стоял на старте 2 часа, пока первый уезжал. Найдем, сколько километров проехал первый поезд за это время:
S₀ = V₁ × t₀ = 60 × 2 = 120 (км). Именно это расстояние нужно сократить второму поезду. - Расчет времени: Разделим начальное расстояние на скорость сближения, чтобы найти искомое время:
t = S₀ / Vсбл = 120 / 15 = 8 (часов).
Ответ: второй поезд догонит первый через 8 часов после своего отправления.
Специфика задач на поезда: протяженность тел
Особенность поездов заключается в том, что они имеют значительную длину. Точка отсчета в таких задачах, это обычно «нос» (первый вагон) или «хвост» (последний вагон) поезда. Если в задаче сказано, что один поезд проезжает мимо другого, он должен пройти расстояние, равное сумме длин обоих составов.
Пример с использованием данных из условия
По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда. Скорость пассажирского поезда равна 60 км/ч, а скорость товарного, 40 км/ч. Длина товарного поезда — 600 метров. Найдите длину пассажирского поезда, если известно, что пассажирский поезд проехал мимо товарного за 3 минуты.
Пошаговое решение
- Скорость сближения: Поскольку поезда движутся в одном направлении, находим разность скоростей:
Vсбл = 60 ⏤ 40 = 20 (км/ч). - Перевод единиц измерения: Время дано в минутах, а длины — в метрах. Переведем скорость сближения в м/мин.
20 км/ч = 20 000 м / 60 мин = 1000/3 (м/мин). - Формула расстояния: Чтобы один поезд полностью проехал мимо другого, ему нужно пройти расстояние, равное сумме длин обоих поездов: S = L₁ + L₂.
За 3 минуты пассажирский поезд сместится относительно товарного на: S = Vсбл × t = (1000/3) × 3 = 1000 (метров). - Нахождение искомой длины:
L₁ + L₂ = 1000 м
L₁ + 600 = 1000
L₁ = 400 (метров).
Ответ: длина пассажирского поезда составляет 400 метров.
Встречное движение и сложение скоростей
Если бы в нашей изначальной задаче поезда вышли из разных городов навстречу друг другу, то вместо разности скоростей мы бы использовали их сумму. Например, если скорости поездов равны 60 км/ч и 40 км/ч, то их скорость сближения составит 60 + 40 = 100 км/ч. За 1 минуту пассажирский поезд сместится относительно встречного товарного на 1 км (100 км/ч / 60 мин).
Это правило критически важно, когда пассажир смотрит в окно на встречный состав. Если пассажир поезда, идущего со скоростью 60 км/ч, наблюдает встречный состав в течение 2 секунд, то их скорости складываются, так как тела движутся навстречу друг другу.
Алгоритм решения любых задач на движение поездов
Чтобы не допускать ошибок на экзаменах, следуйте простому чек-листу:
- Шаг 1. Внимательно прочитайте условие и определите тип движения: в одном направлении (вдогонку/с отставанием) или навстречу друг другу.
- Шаг 2. Выберите правильную формулу для скорости: при движении в одном направлении вычитайте скорости (V₁ ⏤ V₂), при встречном — складывайте (V₁ + V₂).
- Шаг 3. Приведите все единицы измерения к одной системе. Если длина в метрах, а время в секундах, скорость должна быть в м/с. Для перевода км/ч в м/с используйте коэффициент: умножьте на 1000 и разделите на 3600 (или просто разделите на 3,6).
- Шаг 4. Учитывайте протяженность тел! Чертите схему; Отмечайте «красную точку» на носу поезда и следите за ее перемещением от начала до конца процесса обгона или проезда мимо платформы/столба.
- Шаг 5. Составьте уравнение и решите его.
Задачи, где из одного города в одном направлении вышли два поезда, проверяют не только знание формул, но и логическое мышление школьника. Запомните главное: при попутном движении скорости вычитаются, а при встречном — складываются. Не забывайте про длину самих поездов, и тогда любые текстовые задачи ЕГЭ и ОГЭ по математике будут покоряться легко и уверенно!