Фраза «В 8 ч 30 мин утра из двух сел расстояние между которыми…», это классическое начало одной из самых известных и важных тем в школьной математике: задач на движение. Несмотря на кажущуюся простоту, такие текстовые задачи часто вызывают трудности у школьников при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ. В этой статье мы подробно разберем, как правильно составлять математические модели, решать уравнения и избегать типичных ошибок.
Основные формулы и понятия
Прежде чем переходить к сложным сценариям с велосипедистами и пешеходами, нужно запомнить базовую формулу, на которой строится 90% всех решений:
S = V × t
- S — расстояние (путь), измеряется в километрах (км) или метрах (м).
- V, скорость, измеряется в км/ч или м/с.
- t — время, измеряется в часах (ч) или минутах (мин).
Из этой формулы легко выводятся две другие: V = S / t и t = S / V.
Встречное движение: когда два объекта стартуют одновременно
Самый частый сценарий в задачах с двумя селами — это встречное движение. Объекты (пешеходы, велосипедисты, автомобили) выезжают одновременно навстречу друг другу.
Ключевое понятие: Скорость сближения
При встречном движении объекты приближаются друг к другу со скоростью, равной сумме их скоростей:
V сближения = V₁ + V₂
Время до встречи рассчитывается по формуле: t = S / (V₁ + V₂), где S — начальное расстояние между селами.
Пример задачи
Из двух сел, расстояние между которыми равно 45 км, одновременно навстречу друг другу отправились велосипедист и пешеход и встретились через 3 ч после начала движения. Найдите скорость велосипедиста, если скорость пешехода 5 км/ч.
Решение:
- Найдем скорость сближения: V сбл = S / t = 45 км / 3 ч = 15 км/ч.
- Так как V сбл = V пешехода + V велосипедиста, то V велосипедиста = V сбл ౼ V пешехода.
- V велосипедиста = 15 км/ч ౼ 5 км/ч = 10 км/ч.
Ответ: 10 км/ч.
Разный старт: что делать, если один выехал раньше?
Усложним задачу. Часто в условии сказано, что один участник движения отправляется в путь раньше другого. Именно здесь появляется то самое указание времени: «В 8 ч 30 мин утра…».
В таких задачах важно правильно определить, сколько времени находился в пути каждый участник до момента встречи.
Пример задачи с разным временем старта
Из двух сел, расстояние между которыми 45 км, отправились навстречу друг другу велосипедист и пешеход. Если бы велосипедист выехал на 1 ч 15 мин раньше, чем вышел пешеход, то они встретились бы через 2 ч после выхода пешехода. Найдите их скорости, если велосипедист ехал на 8 км/ч быстрее пешехода.
- Пусть скорость пешехода равна x км/ч. Тогда скорость велосипедиста — (x +
км/ч. - Пешеход был в пути 2 часа. За это время он прошел расстояние: 2x км.
- Велосипедист выехал на 1 ч 15 мин (это 1,25 часа) раньше. Значит, он был в пути: 2 ч + 1,25 ч = 3,25 часа. За это время он проехал: 3,25(x + км.
- Вместе они преодолели все расстояние между селами (45 км). Составляем уравнение:
2x + 3,25(x + = 45 - Раскрываем скобки: 2x + 3,25x + 26 = 45
- Приводим подобные: 5,25x = 19
- x = 19 / 5,25 = 380 / 105 ≈ 3,6 (скорость пешехода).
Как видно, умение переводить минуты в десятичные дроби (15 мин = 15/60 ч = 0,25 ч) критически важно для решения таких задач.
Движение в одном направлении (вдогонку)
Еще один популярный тип задач, когда объекты выезжают из двух сел, находящихся на одной трассе, в одном направлении.
Скорость сближения при движении вдогонку
Если один объект догоняет другой, их скорость сближения равна разности скоростей:
V сближения = V₁ ⎼ V₂ (где V₁ > V₂)
Из двух сел, расстояние между которыми 40 км, одновременно в одном направлении выехали автобус и велосипедист. Скорость автобуса 35 км/ч, скорость велосипедиста 15 км/ч. Через сколько часов автобус догонит велосипедиста?
- V сбл = 35 ⎼ 15 = 20 км/ч.
- t = S / V сбл = 40 / 20 = 2 часа.
Ответ: 2 часа.
Обратный путь и изменение скорости
В заданиях профильного ЕГЭ и сложных олимпиадных задачах часто встречается сценарий, когда объект достигает пункта назначения и возвращается обратно, причем его скорость меняется.
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 112 км. На следующий день он отправился обратно в A, увеличив скорость на 10 км/ч. По пути он сделал остановку на 3 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из B в A.
- Пусть скорость туда равна x км/ч. Тогда время туда: 112/x часов.
- Скорость обратно: (x + 10) км/ч. Время в движении обратно: 112/(x + 10) часов.
- Но на обратном пути была остановка на 3 часа! Значит, общее время обратного пути: 112/(x + 10) + 3.
- По условию времени затрачено поровну: 112/x = 112/(x + 10) + 3.
- Умножаем все на x(x + 10): 112(x + 10) = 112x + 3x(x + 10).
- 112x + 1120 = 112x + 3x² + 30x.
- Сокращаем 112x: 3x² + 30x ⎼ 1120 = 0.
- Делим на 3: x² + 10x ⎼ 1120/3 = 0 (решаем через дискриминант, получаем x = 14).
- Важно! В задаче спрашивается скорость на пути из B в A, то есть (x + 10) = 14 + 10 = 24 км/ч.
Типичные ошибки при решении
- Несовпадение единиц измерения. Скорость дана в км/ч, а время в минутах. Обязательно переводите минуты в часы (делите на 60)!
- Потеря остановки. Если в задаче сказано, что кто-то делал остановку, время остановки обязательно нужно прибавить ко времени движения, чтобы получить общее время в пути.
- Неправильный выбор ответа. Обозначив за x скорость туда, вы можете забыть, что в ответе просят скорость обратно (как в примере выше). Всегда перечитывайте вопрос задачи!
- Отрицательная скорость. При решении квадратного уравнения один из корней может оказаться отрицательным. Помните, что скорость не может быть меньше нуля — такой корень не подходит по смыслу задачи.
Задачи на движение, начинающиеся со слов «В 8 ч 30 мин утра из двух сел расстояние между которыми…», — это не просто проверка арифметических навыков. Это проверка логики, внимательности и умения строить математические модели реальных ситуаций. Главное правило успеха — внимательно читайте условие, переводите все величины в одни единицы измерения, грамотно составляйте уравнение и всегда проверяйте, на какой именно вопрос требуется дать ответ.