Задачи на прямолинейное движение — один из самых частых типов заданий в школьном курсе физики и на экзаменах по математике (в частности, в ЕГЭ). Фраза «Треть времени из города в поселок мотоциклист ехал со скоростью 60 км/ч» представляет собой классическую задачу на нахождение средней скорости, где движение разбито на временные интервалы.
В этой статье мы подробно разберем, как правильно решать подобные задачи, избегая типичных ошибок, и докажем, почему интуитивные ответы в данном случае не работают.
Суть задачи и типичная ошибка
Представим полное условие задачи: Треть времени из города в поселок мотоциклист ехал со скоростью 60 км/ч, а оставшееся время — со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость мотоциклиста на протяжении всего пути.
Самая распространенная ошибка, которую допускают школьники при решении таких задач — это попытка найти среднее арифметическое скоростей. Многие просто складывают 60 и 40 и делят на 2, получая 50 км/ч. Это в корне неверно!
Средняя скорость — это отношение всего пройденного пути ко всему затраченному времени. Формула выглядит так:
V_ср = S_общ / t_общ
Правильное решение: метод временных интервалов
Поскольку в условии задачи сказано «треть времени», мы можем обозначить всё время поездки за удобную переменную. Пусть общее время мотоциклиста в пути равно 3t часов. Тогда:
- Первая часть пути (треть времени) заняла t часов. Скорость была 60 км/ч.
- Вторая часть пути (оставшееся время) заняла 2t часов. Скорость была 40 км/ч.
Шаг 1: Найдем путь на каждом участке
Путь, как известно, равен произведению скорости на время (S = V * t).
- Первый участок: S₁ = 60 * t = 60t (км)
- Второй участок: S₂ = 40 * 2t = 80t (км)
Шаг 2: Найдем общий путь и общее время
Общий путь: S_общ = S₁ + S₂ = 60t + 80t = 140t (км)
Общее время: t_общ = 3t (часов)
Шаг 3: Вычислим среднюю скорость
Подставляем значения в главную формулу:
V_ср = S_общ / t_общ = 140t / 3t = 46,67 км/ч (или 140/3 км/ч в виде дроби).
Как видите, реальная средняя скорость (около 46,7 км/ч) оказалась значительно меньше среднего арифметического (50 км/ч). Это произошло потому, что мотоциклист ехал с меньшей скоростью (40 км/ч) дольше по времени, поэтому этот участок сильнее «потянул» среднее значение вниз.
А что, если речь идет о трети пути?
Важно обращать внимание на формулировки! Если бы условие звучало так: «Первую треть пути из города в поселок мотоциклист ехал со скоростью 60 км/ч, а оставшийся путь — со скоростью 40 км/ч»,, решение было бы совершенно иным.
В этом случае мы бы разбивали задачу не на временные отрезки, а на отрезки расстояния. Пусть общий путь равен 3S.
- Время на первом участке: t₁ = S / 60
- Время на втором участке: t₂ = 2S / 40 = S / 20
- Общее время: t₁ + t₂ = S/60 + S/20 = S/60 + 3S/60 = 4S/60 = S/15
Тогда средняя скорость равна: V_ср = 3S / (S/15) = 45 км/ч.
Обратите внимание: при тех же скоростях (60 и 40), но при делении пути на трети, а не времени, средняя скорость получилась еще ниже (45 км/ч против 46,67 км/ч).
Универсальная формула для задач на время
Если в задаче движение разбито на равные промежутки времени (например, первую половину времени объект ехал с одной скоростью, а вторую половину, с другой), то среднюю скорость можно находить как среднее арифметическое. Это единственное исключение из правила!
Если же временных интервалов несколько (например, треть времени, треть времени и еще треть времени), формула выглядит так:
V_ср = (V₁ + V₂ + V₃) / 3
В нашем изначальном примере с мотоциклистом участки времени были неравными (1/3 и 2/3), поэтому универсальная формула среднего арифметического неприменима, и необходимо считать через путь и время, как мы показали выше.
Задачи на движение требуют предельной внимательности к каждому слову в условии. Фраза «треть времени» — это ключ к разделению движения на временные доли, где каждая доля умножается на свою скорость для нахождения пройденного расстояния. Запомните главное правило: средняя скорость, это весь путь, деленный на всё время, и никогда не равна простому среднему арифметическому скоростей (кроме случая с равными долями времени). Практикуйтесь с разными формулировками, и вы научитесь решать такие задания из ЕГЭ без труда!