Задачи на прямолинейное движение – одни из самых популярных в школьных тестах (ЕГЭ, ОГЭ) и в подготовительных курсах. В этой статье мы подробно разберём классический пример:
Условие задачи
Человек шел из деревни в город со скоростью 3 км/ч. На обратном пути, возвращаясь из города в деревню с покупками, он шел со скоростью 2 км/ч. Определите его среднюю скорость за всё время пути.
Что требуется найти?
- Среднюю скорость vср за весь путь (в обе стороны).
- При желании – время в пути и пройденное расстояние.
Формулы, которые понадобятся
- Скорость – расстояние, пройденное за единицу времени: v = s / t.
- Время – расстояние, пройденное со скоростью v: t = s / v.
- Средняя скорость за весь путь (при разных скоростях на разных участках) рассчитывается как vср = (общая пройденная дистанция) / (общее время).
Пошаговое решение
Шаг 1. Обозначим неизвестные
Пусть расстояние между деревней и городом равно s (в километрах). Это расстояние одинаково в обе стороны.
Шаг 2. Найдём время в пути в каждом направлении
- Туда (деревня → город) со скоростью v₁ = 3 км/ч:
t₁ = s / v₁ = s / 3 (часов). - Обратно (город → деревня) со скоростью v₂ = 2 км/ч:
t₂ = s / v₂ = s / 2 (часов).
Шаг 3. Суммируем расстояния и времена
Общее пройденное расстояние:
Sобщ = s + s = 2s
Общее время:
Tобщ = t₁ + t₂ = s/3 + s/2 = rac{2s + 3s}{6} = rac{5s}{6} (часов).
Шаг 4. Вычисляем среднюю скорость
По формуле vср = Sобщ / Tобщ получаем:
[
v_{ ext{ср}} = rac{2s}{ rac{5s}{6}} = rac{2s ot 6}{5s} = rac{12}{5} = 2{,}4 ext{км/ч}.
]
Итак, средняя скорость человека за весь путь составляет 2,4 км/ч.
Проверка результата
Для уверенности подставим произвольное значение расстояния, например s = 6 км:
- Туда: t₁ = 6 / 3 = 2 ч.
- Обратно: t₂ = 6 / 2 = 3 ч.
- Общее время = 5 ч, общее расстояние = 12 км.
- Средняя скорость = 12 км / 5 ч = 2,4 км/ч – совпадает с полученным ответом.
Почему средняя скорость меньше 3 км/ч?
Поскольку часть пути (обратный) проходит медленнее, время, затраченное на эту часть, больше, чем на первую. Поэтому «вес» более медленной скорости в среднем выше, и итоговая средняя скорость оказывается ниже обеих исходных скоростей.
Вариации задачи
В учебных пособиях часто встречаются похожие задачи, где меняются:
- Скорости в разных направлениях (например, 5 км/ч и 8 км/ч);
- Наличие остановок (например, человек делает паузу в 1 ч в городе);
- Неравные расстояния (в пути «вперёд» и «назад» разные, например, из деревни в город 30 км, а обратно – 25 км).
Для каждой из этих модификаций формула средней скорости остаётся той же: vср = (∑s) / (∑t). Нужно лишь правильно посчитать t для каждого участка.
Типичные ошибки учеников
- Считать среднюю скорость арифметическим средним (т.е. (3 + 2)/2 = 2,5 км/ч). Это неверно, потому что времена разных участков различны.
- Забывать про одинаковое расстояние в обе стороны и использовать разные s без необходимости.
- Неправильно складывать времена – иногда берут среднее время вместо суммы.
- Путать единицы измерения (например, перевод минут в часы, если в условии указано время в минутах).
Практическое значение задачи
Подобные задачи развивают у школьников навыки:
- Работы с формулами скорости, расстояния и времени;
- Анализа реальных ситуаций (поездка туда‑и‑обратно, доставка, походы);
- Понимания, что средняя величина зависит от «веса» каждого этапа.
Как решить задачу без формул?
Можно воспользоваться простым графическим методом – построить время‑расстояние (т.н. график «схема движения»):
- Отложить по оси t (время) отрезок длиной s/3 (время туда) и s/2 (время обратно).
- Отложить по оси s (расстояние) отрезок длиной 2s.
- Средняя скорость – это наклон прямой, соединяющей начало координат с конечной точкой (2s, 5s/6) → 2,4 км/ч.
Краткое резюме
- Средняя скорость рассчитывается как общее расстояние / общее время.
- Для задачи «деревня‑город‑деревня» с скоростями 3 км/ч и 2 км/ч получаем vср = 2,4 км/ч.
- Важно помнить, что простое арифметическое среднее скоростей не даёт правильного ответа.
Дополнительные ресурсы
Если хотите углубиться в тему «прямолинейное движение», рекомендуем посмотреть:
- Раздел «Задачи на движение» на сайте Шевкин.Ru – множество примеров с подробными решениями.
- Видео‑уроки по теме «Средняя скорость» на YouTube‑канале Математика в Школково.
- Тренировочные тесты по ЕГЭ, где встречаются похожие задачи (например, №81 из сборника «Текстовые задачи»).
Дата генерации статьи: , 20:20