Задачи на прямолинейное движение — это классика школьного курса физики и математики‚ а также обязательная часть заданий на ЕГЭ и ОГЭ․ Одной из самых распространенных и коварных задач является следующая: «Велосипедист ехал из одного города в другой половину пути со скоростью 12 км/ч․․․»․ Далее обычно требуется найти среднюю скорость на всем пути‚ зная скорость на второй половине маршрута․
Главная ошибка‚ которую совершают большинство учеников при решении подобных задач — они пытаются найти среднее арифметическое․ Но в физике и математике средняя скорость никогда не равна полусумме скоростей‚ если велосипедист (или автомобиль‚ или пешеход) находился в движении разное время на каждом из участков․
Главное правило: что такое средняя скорость?
Прежде чем мы перейдем к формулам и решению‚ самое главное помнить определение:
Средняя скорость — это отношение всего пройденного пути ко всему времени‚ затраченному на этот путь․
Формула выглядит так:
Vср = S / t
Где:
- S — общее расстояние (весь путь)
- t — общее время (сумма времени на каждом из участков)
Разбор классической задачи
Рассмотрим типичную формулировку из каталога заданий:
Условие задачи:
Велосипедист ехал из одного города в другой․ Половину пути он проехал со скоростью V1 = 12 км/ч‚ а вторую половину пути — со скоростью V2 = 6 км/ч․ Определите среднюю скорость движения велосипедиста․
Решение пошагово:
-
Обозначим весь путь․ Поскольку в задаче речь идет о «половине пути»‚ нам очень удобно обозначить весь путь как S․ Тогда первая половина пути равна S/2‚ и вторая половина пути тоже равна S/2․
-
Найдем время для каждой половины пути․ Время, это путь‚ деленный на скорость (t = S / V)․
- Время на первой половине пути: t1 = (S/2) / 12 = S / 24
- Время на второй половине пути: t2 = (S/2) / 6 = S / 12
-
Найдем общее время․
t = t1 + t2 = S/24 + S/12
Приведем к общему знаменателю (24):
t = S/24 + 2S/24 = 3S / 24 = S / 8
-
Вычислим среднюю скорость․
Vср = S / t = S / (S/8) = 8 км/ч
Обратите внимание: если бы мы посчитали среднее арифметическое (12 + 6) / 2‚ мы бы получили 9 км/ч․ Это неверный ответ! Велосипедист ехал вторую половину пути медленнее‚ а значит‚ находился в движении дольше․ Это «утяжелило» его среднюю скорость‚ опустив ее до 8 км/ч․
Универсальная формула для половины пути
Если в задаче сказано‚ что объект двигался половину пути со скоростью V1‚ а вторую половину — со скоростью V2‚ можно использовать готовую формулу гармонического среднего:
Vср = (2 * V1 * V2) / (V1 + V2)
Давайте проверим нашу предыдущую задачу с этой формулой:
Vср = (2 * 12 * 6) / (12 + 6) = 144 / 18 = 8 км/ч․ Результат совпадает!
Другие популярные вариации задачи
На экзаменах (как видно из заданий Школково и других источников) условие может усложняться․ Вот несколько примеров:
-
Задача с неизвестной скоростью․ Велосипедист проехал первую половину пути со скоростью 12 км/ч‚ а вторую половину пути с какой-то другой скоростью․ Средняя скорость оказалась равной 8 км/ч․ Найти скорость на втором участке․
Используем ту же формулу: 8 = (2 * 12 * V2) / (12 + V2)․ Решаем уравнение: 8 * (12 + V2) = 24 * V2; 96 + 8V2 = 24V2; 96 = 16V2; V2 = 6 км/ч․
-
Задача с задержкой в пути․ Велосипедист проехал первую половину пути со скоростью 12 км/ч‚ а затем был задержан на 20 минут‚ после чего продолжил путь․ В таких случаях время задержки обязательно прибавляется к общему времени в знаменателе нашей главной формулы Vср = S / t․
Важное отличие: «половина пути» и «половина времени»
Всегда внимательно читайте условие! Если в задаче сказано‚ что велосипедист ехал половину времени со скоростью 12 км/ч‚ а вторую половину времени — с другой скоростью‚ то средняя скорость будет равна среднему арифметическому:
Vср = (V1 + V2) / 2
Это связано с тем‚ что отрезки времени равны‚ и более медленный участок пути просто будет короче по расстоянию‚ не «утяжеляя» среднюю скорость․
Задачи на среднюю скорость требуют внимательности и понимания физического смысла․ Запомните главное: средняя скорость — это весь путь‚ деленный на всё время․ Если вы едете половину пути со скоростью 12 км/ч‚ а вторую половину — пешком со скоростью 4 км/ч‚ ваша средняя скорость не будет равна 8 км/ч․ Она составит всего 6 км/ч‚ потому что большую часть времени вы медленно шли пешком․ Пользуйтесь формулой гармонического среднего‚ и вы никогда не ошибетесь!