Задачи о движении судов по реке – классический материал в школьных курсах по физике и математике.
Они позволяют отработать умение работать с системой уравнений, учитывать влияние течения реки и правильно
интерпретировать полученные результаты.

Содержание

1. Постановка задачи
2. Математическая модель
3. Алгоритм решения
4. Пример расчёта
5. Вариации задачи
6. Типичные ошибки
7. Практические задания

Постановка задачи

Теплоход движется по реке между двумя пристанями А и В.
Скорость течения реки неизвестна, как и собственная скорость теплохода в стоячей воде.
Известно, что:

• по течению (от А к В) теплоход проходит расстояние за 5 часов;
• против течения (от В к А) он проходит то же расстояние за 6 часов.

Требуется найти расстояние между пристанями А и В. При желании можно также определить собственную скорость теплохода и скорость течения реки.

Математическая модель

Обозначим:

• v – собственная (в стоячей воде) скорость теплохода, км/ч;
• u – скорость течения реки, км/ч (по направлению от А к В);
• S – расстояние между пристанями, км.

Тогда скорости движения теплохода:

• по течению: v+u;
• против течения: v‑u.

Время равно расстоянию, делённому на скорость, поэтому получаем две формулы:

[
egin{cases}
S = (v+u)ot 5,\[4pt]
S = (v-u)ot 6.
nd{cases}
]

Эта система позволяет найти неизвестные S, v и u.

Алгоритм решения

Для получения расстояния достаточно избавиться от v и u. Выполняем следующие шаги:

1. Записываем две уравнения из модели:

S = 5(v+u) … (1)
S = 6(v‑u) … (2)

2. Приравниваем правые части (поскольку обе равны S):

5(v+u) = 6(v‑u)

3. Раскрываем скобки и собираем одинаковые члены:

5v + 5u = 6v – 6u 
⇒ 5u + 6u = 6v – 5v 
⇒ 11u = v

4. Выразим v через u (или наоборот). Получаем v = 11u.
5. Подставляем полученное соотношение в любое из исходных уравнений, например в (1):

S = 5(v+u) = 5(11u + u) = 5·12u = 60u

6. Аналогично из (2):

S = 6(v‑u) = 6(11u – u) = 6·10u = 60u

7. Оба способа дают одинаковый результат, следовательно S = 60u.
   Чтобы получить численное значение S, необходимо знать u.
   Если в условии скорость течения не указана, её можно найти из дополнительного условия
   (например, известна собственная скорость v или расстояние S).

В типичной школьной задаче обычно задают v или u.
Если же их нет, то единственное, что можно вывести – пропорцию S : u = 60 : 1,
т.е. расстояние в километрах в 60 раз больше скорости течения в км/ч.

Пример расчёта

Допустим, в условии дополнительно указано, что собственная скорость теплохода v = 33 км/ч.
Тогда:

1. Из соотношения v = 11u получаем u = v / 11 = 33 / 11 = 3 км/ч.
2. Подставляем u в формулу S = 60u:

S = 60 × 3 = 180 км

3. Проверка:
   • По течению: скорость = v+u = 33+3 = 36 км/ч → время = 180/36 = 5 ч (соответствует условию);
   • Против течения: скорость = v‑u = 33‑3 = 30 км/ч → время = 180/30 = 6 ч (соответствует условию).

Итак, расстояние между пристанями А и В равно 180 км.

Вариации задачи

В учебных пособиях встречаются несколько модификаций этой задачи:

• Задан только один из временных параметров (например, только время по течению).
  Тогда требуется выразить расстояние через неизвестную скорость течения и/или собственную скорость.
• Указана скорость течения, а требуется найти собственную скорость теплохода и расстояние.
• Вместо времени задаются скорости (например, «по течению 40 км/ч, против — 20 км/ч»).
  Тогда сначала находят v и u, а потом расстояние.
• Задача усложняется наличием остановок, изменения скорости ветра, или различными единицами измерения.

Типичные ошибки

При решении подобных задач ученики часто допускают:

1. Путаницу в знаках: при вычислении скорости против течения необходимо вычитать u, а не прибавлять.
2. Неправильное приравнивание: вместо приравнивания правых частей уравнений иногда ошибочно приравнивают левую часть к разнице времен.
3. Забывают проверить единицы: если время дано в минутах, его нужно перевести в часы.
4. Пренебрегают проверкой: всегда проверяйте полученные значения, подставляя их обратно в исходные формулы.

Практические задания

Попробуйте решить самостоятельно, используя описанный метод.

1. Теплоход проходит расстояние между пристанями за 5 ч по течению и за 7 ч 30 минут против течения.
   Собственная скорость теплохода 30 км/ч. Найдите расстояние и скорость течения.
2. Время в обе стороны одинаково: 6 ч. При этом известно, что скорость течения 2 км/ч. Определите собственную скорость судна и расстояние.
3. Теплоход за 4 ч 45 мин проходит путь по течению, а за 6 ч 15 мин – против. Скорость течения в 3 км/ч. Найдите расстояние.

Задача «расстояние между пристанями, если теплоход проходит по течению за 5 ч» – отличный пример того,
как простые физические принципы (сумма и разность скоростей) превращаются в систему линейных уравнений.
Следуя пошаговому алгоритму (записать уравнения, приравнять их, решить систему, проверить результат),
можно быстро получить как расстояние, так и дополнительные параметры (скорость течения, собственную скорость судна).
Практика в решении подобных задач укрепляет навыки работы с алгебраическими выражениями и развивает логическое мышление.